用相关点法求轨迹方程

用相关点法求轨迹方程

x2y2

0)为定点，求线段AB的中点M的 例1. 点B2?2?1上的动点，A(2a，ab

轨迹方程。

分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。

【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）

则由M为线段AB中点，可得

?x0?2a?x??x0?2x?2a?2?? ?y?0y?2y?0?0?y??2

即点B坐标可表为（2x－2a，2y） x2y2

又?点B(x0，y0)2?2?1上 ab

xy ?0

2?02?1ab22(2x?2a)2(2y)2从而有?2?1， 2ab

4(x?a)24y2

?2?1 整理，得动点Ma2b

【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系

【变式1】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

【解析】： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR 又因为R是弦AB在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=(x?4)2?y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=

代入方程x2+y2－4x－10=0,得 x?4y?0, ,y1?22

(x?42yx?4－10=0 )?()2?4?222

整理得x2+y2=56,

【备选题】 已知双曲线x2?y2?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．

O为坐标原点）（I）若动点M满足F，求点M的轨迹方程； 1M?F1A?F1B?FO1（其中

（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

解：由条件知F1(?2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

解法一：（I）设M(x，y)，则则FM?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)， 1

F1B?(x2?2，y2)，FO?(2，0)，由FM?F1A?F1B?FO111得

?x?2?x1?x2?6，?x1?x2?x?4，即? ?y?y?y?12?y?y1?y2

于是AB的中点坐标为??x?4y??． 22??

y

y?y2yy(x1?x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1?y2???x?8x1?x2?2x?8

2

222又因为A，B两点在双曲线上，所以x1?y12?2，x2?y2?2，两式相减得

(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y． 将y1?y2?y(x1?x2)代入上式，化简得(x?6)2?y2?4． x?8

当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程．

所以点M的轨迹方程是(x?6)?y?4．

（II）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CA.CB为常数． 22

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)．

代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0．

4k24k2?2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2，x1x2?2， k?1k?1

于是CA.CB?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x2?2)

?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?4k2?m2

(k2?1)(4k2?2)4k2(2k2?m)22???4k?m 22k?1k?1

2(1?2m)k2?24?4m2??m?2(1?2m)??m2． 22k?1k?1

因为.是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时.=?1． 当AB与x轴垂直时，点A，

B的坐标可分别设为(2

，(2， 此时.?(1,2).(1,?2)??1．

故在x轴上存在定点C(1，0)，使.为常数．

?x1?x2?x?4，解法二：（I）同解法一的（I）有? y?y?y?12

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)．

代入x?y?2有(1?k)x?4kx?(4k?2)?0． 222222

4k2

则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2． k?1

?4k2?4k． y1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2?k?1?k?1

4k2

由①②③得x?4?2．???????????????????④ k?1

y?4k．??????????????????????????⑤ 2k?1

当k?0时，y?0，由④⑤得，x?4?k，将其代入⑤有 y

x?4

4y(x?4)y22y??．整理得(x?6)?y?4． 222(x?4)(x?4)?y?1y24?

当k?0时，点M的坐标为(4，0)，满足上述方程．

当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程．

故点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．

（II）假设在x轴上存在定点点C(m，0)，使CA.CB为常数，

4k24k2?2当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1?x2?2?1，x1x2?2． kk?1

以上同解法一的（II）．

【误区警示】

1.错误诊断

【例题5】?ABC中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，求点A的轨迹方程。

x2y2

【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为2?2?1，ab

x2y2

??1 则由定义可知a?5,c?3，则b?4，得轨迹方程为2516

【错因剖析】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。

【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点(5,0).(?5,0)，x2y2

??1(x??5) 即轨迹方程为2516

2.误区警示

1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案”。

2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的

选择。

3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。

【课外作业】

【基础训练】

1:已知两点M(1,),N(?4,?)给出下列曲线方程：①4x?2y?1?0；②x2?y2?3；5

454

x2x2

2?y?1；④?y2?1，在曲线上存在点P满足|MP|?|NP|的所有曲线方程是③22

（ ）

A ①③

【答案】:D B ②④ C ①②③ D ②③④

【解答】: 要使得曲线上存在点P满足|MP|?|NP|,即要使得曲线与MN的中垂线y??2x?3有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则选D

2.两条直线x?my?1?0与mx?y?1?0的交点的轨迹方程是 .

【解答】:直接消去参数m即得(交轨法):x2?y2?x?y?0

3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .

【解答】:令M点的坐标为(x,y),则A的坐标为(2x,2y),代入圆的方程里面得:

11(x?)2?y2?(x?0) 24

4:当参数m随意变化时，则抛物线y?x2??2m?1?x?m2?1的顶点的轨迹方程为___________。

【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。

1?5???【解答】：抛物线方程可化为?x?m???y??m?? ??2?4?

它的顶点坐标为x??m?215，y??m? 24