二阶常微分方程边值问题的数值解法
上传者:韩亚丹|上传时间:2015-05-07|密次下载
二阶常微分方程边值问题的数值解法
摘 要
本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法。对线性边值问题,我们总结了两类常用的数值方法,即打靶法和有限差分方法,对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码,通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。
关键字:常微分方程边值问题;打靶法;差分法;
i
ABSTRACT
This article mainly discusses the numerical methods for solving Second-Order boundary value problems for Ordinary Differential Equations. On the one hand, we review two types of commonly used numerical methods for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. For each method, we give both the exact calculating steps , we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example.
Key words:Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations;Shooting Method;Finite Difference Method;
ii
湖南科技大学本科生毕业设计(论文)
目 录
第一章 引言 ................................................................................................................... - 1 -
第二章 二阶线性常微分方程 .................................................................................. - 2 -
2.1试射法(“打靶”法) ............................................................................................ - 3 -
2.1.1简单的试射法 ............................................................................................ - 3 -
2.1.2 基于叠加原理的试射法 ........................................................................... - 4 -
2.2 有限差分法 ......................................................................................................... - 10 -
2.2.1 有限差分逼近的相关概念 ...................................................................... - 11 -
2.2.2 有限差分方程的建立 ............................................................................. - 13 -
2.2.3 其他边值条件的有限差分方程 ............................................................. - 14 -
2.2.4 有限差分方程的解法 ............................................................................. - 16 -
第三章 二阶非线性微分方程 ..................................................... 错误!未定义书签。
3.1基于牛顿迭代法的打靶法 ....................................................... 错误!未定义书签。
3.1.1 第一类边值条件推导 .................................................. 错误!未定义书签。
3.1.2 其他边值条件的推导 ................................................ 错误!未定义书签。
3.1.3 算法及程序代码 ........................................................ 错误!未定义书签。
3.2 基于改进的牛顿迭代法的打靶法 .......................................... 错误!未定义书签。
3.2.1 算法的推导 ................................................................ 错误!未定义书签。
3.2.2 算法及代码 ................................................................ 错误!未定义书签。
第四章 改进算法的算例 .............................................................. 错误!未定义书签。
第五章 总结 ................................................................................................................... - 20 - 参考文献 .......................................................................................................................... - 21 - 致谢......................................................................................................... 错误!未定义书签。
iii
湖南科技大学本科生毕业设计(论文)
第一章 引言
微分方程是现代数学中一个很重要的分支,从早期的微积分时代起,这个学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。在微分方程理论中,定解条件通常有两种提法:一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态,相应的定解条件称为初值问题;另一种是给出了积分曲线首末两端的性态,这类条件则称为边界条件,相应的定解问题称为边值问题。
常微分方程边值问题在应用科学与工程技术中有着非常重要的应用,例如工程学、力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题通常会归结为常微分方程边值问题[12]的求解。文献[9]给出了边值问题求解的方法,虽然求解常微分方程边值问题有很多解析方法可以求解,但这些方法只能用来求解一些特殊类型的方程,对从实际问题中提炼出来的微分方程往往不再适用,因而对常微分方程边值问题的数值方法的研究显得尤为重要。经典的数值方法主要有:试射法(打靶法)和有限差分法,见文献[2]。对于二阶线性边值问题,差分法的优点在于稳定性较好,但它的精度不高。而用打靶法求解线性问题时,解的精度较高,这是因为打靶法将边值问题的求解转化为相应的初值问题的求解,因而可以使用具有较高精度的Runge-Kutta法(见文献[1]),但是算法稳定性较差。
在本文中,我们首先总结了二阶线性边值问题的数值算法:打靶法、有限差分法。对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码,通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。由于简单的打靶法过分依赖经验,我们考虑了基于线性叠加原理的打靶法,将线性边值问题转化为两个初值问题,并通过线性叠加得到原边值问题的解。
- 1 -
湖南科技大学本科生毕业设计(论文)
第二章 二阶线性常微分方程
二阶常微分方程一般可表示成如下的形式:
y??(x)?f(x,y,y?), a?x?b (1)
边值条件有如下三类[9]:
第一类边值条件
y(a)??, y(b)?? (2)
第二类边值条件
y?(a)??, y?(b)?? (3)
第三类边值条件[19]
?0y(a)??1y?(a)??, ?0y(b)??1y?(b)?? (4)
其中?0?1?0, ?0?1?0, ?0??1?0, ?0??1?0。
在对边值问题用数值方法求解之前,应该从理论上分析该边值问题的解是否存在,若问题的解不存在,用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。
定理1.1设方程(2.1)中的函数f及?f?f,在区域 ?y??y
??{(x,y,y?)|a?x?b,???y,y???}
内连续,并且
(ⅰ)?f(x,y,y?)?0, ?(x,y,y?)??; ?y
?f(x,y,y?)在?内有界,即存在常数M,使得 ?y?(ⅱ)
?f(x,y,y?)?M?y?
则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一[18]。 , ?(x,y,y?)??,
本章我们假设函数f(x,y,y?)可以简单地表示成
f(x,y,y?)?p(x)y??q(x)y?r(x),
- 2 -
下载文档
热门试卷
- 2016年四川省内江市中考化学试卷
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 山东省滨州市三校2017届第一学期阶段测试初三英语试题
- 四川省成都七中2017届高三一诊模拟考试文科综合试卷
- 2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(附答案)
- 重庆市永川中学高2017级上期12月月考语文试题
- 江西宜春三中2017届高三第一学期第二次月考文科综合试题
- 内蒙古赤峰二中2017届高三上学期第三次月考英语试题
- 2017年六年级(上)数学期末考试卷
- 2017人教版小学英语三年级上期末笔试题
- 江苏省常州西藏民族中学2016-2017学年九年级思想品德第一学期第二次阶段测试试卷
- 重庆市九龙坡区七校2016-2017学年上期八年级素质测查(二)语文学科试题卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016年12月八年级语文阶段性测试卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016-2017学年七年级英语12月阶段检测试卷
- 山东省邹城市第八中学2016-2017学年八年级12月物理第4章试题(无答案)
- 【人教版】河北省2015-2016学年度九年级上期末语文试题卷(附答案)
- 四川省简阳市阳安中学2016年12月高二月考英语试卷
- 四川省成都龙泉中学高三上学期2016年12月月考试题文科综合能力测试
- 安徽省滁州中学2016—2017学年度第一学期12月月考高三英语试卷
- 山东省武城县第二中学2016.12高一年级上学期第二次月考历史试题(必修一第四、五单元)
- 福建省四地六校联考2016-2017学年上学期第三次月考高三化学试卷
- 甘肃省武威第二十三中学2016—2017学年度八年级第一学期12月月考生物试卷
网友关注
- 古巴salsa
- 测试电动汽车的能源效率和练习场与齿轮的选择
- 三幕式结构分析-末路狂花
- 《中国古代建筑赏析》浅读笔记
- 工程地质学补考合肥工业大学
- 观电影有感
- 黄淮学院数字化校园实施方案-0727
- 音乐游戏的指导11
- 英国皇家音乐学院考级指南
- 英国大学申请系统UCAS2015年重要截止日期及常识介绍
- 论文各类资料
- 英国威斯敏斯特大学研究发现看恐怖片有助减肥
- 英国留学签证办理要点:邮政编码切勿填错
- 大学军事理论复习提纲
- 休闲旅游策划与营销考试大纲
- 牛津布鲁克斯大学硕士预科
- 埃舍尔
- 伦敦大学皇后玛丽学院本科预科以及pre-sessional语言课需要考ielts for ukvi
- 世界经典音乐鉴赏选修期末论文
- 英国大学成绩等级划分信息介绍
- 爱丁堡大学新建FloWave游泳池 可模拟世界强海浪及洋流
- 炫指吉他社规章制度(贵州理工学院)
- 留学易三仓大学的优势
- 英国商科前10院校雅思分数要求大揭秘
- 美术微格课的教案模板
- 儿童公园论文设计
- 英国大学各类课程你了解多少
- 从不肯轻易别离
- 音乐与其它艺术的关系
- 画家电影
网友关注视频
- 七年级英语下册 上海牛津版 Unit3
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 12
- 冀教版小学数学二年级下册第二周第2课时《我们的测量》宝丰街小学庞志荣
- 小学英语单词
- 七年级英语下册 上海牛津版 Unit9
- 第五单元 民族艺术的瑰宝_16. 形形色色的民族乐器_第一课时(岭南版六年级上册)_T3751175
- 苏教版二年级下册数学《认识东、南、西、北》
- 19 爱护鸟类_第一课时(二等奖)(桂美版二年级下册)_T502436
- 【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
- 沪教版八年级下册数学练习册20.4(2)一次函数的应用2P8
- 【部编】人教版语文七年级下册《过松源晨炊漆公店(其五)》优质课教学视频+PPT课件+教案,江苏省
- 每天日常投篮练习第一天森哥打卡上脚 Nike PG 2 如何调整运球跳投手感?
- 苏科版数学八年级下册9.2《中心对称和中心对称图形》
- 19 爱护鸟类_第一课时(二等奖)(桂美版二年级下册)_T3763925
- 化学九年级下册全册同步 人教版 第25集 生活中常见的盐(二)
- 苏科版数学七年级下册7.2《探索平行线的性质》
- 【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
- 沪教版八年级下册数学练习册21.4(1)无理方程P18
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 10
- 外研版英语三起6年级下册(14版)Module3 Unit2
- 沪教版八年级下册数学练习册一次函数复习题B组(P11)
- 北师大版数学四年级下册3.4包装
- 外研版英语七年级下册module3 unit1第二课时
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,辽宁省
- 冀教版英语四年级下册第二课
- 沪教版八年级下册数学练习册21.3(2)分式方程P15
- 外研版英语七年级下册module3 unit2第二课时
- 三年级英语单词记忆下册(沪教版)第一二单元复习
- 冀教版英语五年级下册第二课课程解读
- 外研版八年级英语下学期 Module3
精品推荐
- 2016-2017学年高一语文人教版必修一+模块学业水平检测试题(含答案)
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
分类导航
- 互联网
- 电脑基础知识
- 计算机软件及应用
- 计算机硬件及网络
- 计算机应用/办公自动化
- .NET
- 数据结构与算法
- Java
- SEO
- C/C++资料
- linux/Unix相关
- 手机开发
- UML理论/建模
- 并行计算/云计算
- 嵌入式开发
- windows相关
- 软件工程
- 管理信息系统
- 开发文档
- 图形图像
- 网络与通信
- 网络信息安全
- 电子支付
- Labview
- matlab
- 网络资源
- Python
- Delphi/Perl
- 评测
- Flash/Flex
- CSS/Script
- 计算机原理
- PHP资料
- 数据挖掘与模式识别
- Web服务
- 数据库
- Visual Basic
- 电子商务
- 服务器
- 搜索引擎优化
- 存储
- 架构
- 行业软件
- 人工智能
- 计算机辅助设计
- 多媒体
- 软件测试
- 计算机硬件与维护
- 网站策划/UE
- 网页设计/UI
- 网吧管理