2012za0611 自同构群阶为4p1p2···pn 的有限群

上传者：李新飞
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2012za0611 自同构群阶为4p1p2···pn 的有限群

英文引用格式: Xia Q Z, Chen G Y, Cao H P. Finite groups whose automorphism groups have order 4p1p2 · · · pn (in Chinese).
Sci Sin Math, 2012, 42(6): 611–617, doi: 10.1360/012010-816
中国科学: 数学 2012 年第42 卷第6 期: 611 ?617
http://wendang.chazidian.com http://wendang.chazidian.com
自同构群阶为 4p
1
p
2
· · ·p
n
的有限群
夏巧珍, 陈贵云
?
, 曹洪平
西南大学数学与统计学院, 重庆 400715
E-mail: xiaqiaozhen05@http://wendang.chazidian.com, gychen1963@http://wendang.chazidian.com, caohp@http://wendang.chazidian.com
收稿日期: 2010-10-18; 接受日期: 2012-02-28; * 通信作者
国家自然科学基金 (批准号: 11171364) 资助项目
摘要设 G 是有限群, m 是已知正整数, 求解方程 |Aut(G)| = m 中的有限群 G 是一个难度很大的问
题. 此课题的系统研究始于上世纪 70 年代末. 后来陆续有包括本文作者在内的研究者对于 m 是一些
特殊的数时方程的求解问题进行了研究, 目前已经取得了一系列的结果. 本文在过去研究的基础上研
究 |Aut(G)| = 4p
1
p
2
· · · p
n
的求解问题, 并求出了全部有限群, 推广了杜妮和李世荣的结果.
关键词有限群自同构群分类
MSC (2010) 主题分类 20D45
1 引言及引理
对于给定的自然数m, 自同构群阶方程|Aut(G)| = m 的求解是有趣但又是困难的课题. 此研究从
上世纪70 年代开始, 得到一些学者的广泛研究. 在1979 年Iyer 在文[1] 中开始研究这一问题, 得出至
多有有限个 G 满足上述方程; 在 1981 年 Flannery 和 Machale 在文 [2, 3] 中决定了一些 |Aut(G)| 比
较小或者是一些特殊数的群 G 的结构; 1990 年陈贵云在文 [4] 中给出 |Aut(G)| 比较一般形式的群的
结构, 即决定了自同构群阶为p
1
p
2
· · · p
n
或pq
2
的有限群, 1992 年在文[5] 中分类了自同构群的Sylow
子群循环的全部有限群, 同年在文 [6] 中给出了自同构群为 Schmidt 群的有限群分类, 1994 年在文 [7]
中陈贵云又分类了自同构群为循环群被交换群扩张的有限群; 后来李世荣、愈曙霞、班桂宁、黄平安
等人也在这方面做了大量工作, 见文 [8–14]. 本文将继续这方面研究, 将推广杜妮和李世荣在文 [8] 中
的研究, 并给出具有 4p
1
p
2
· · · p
n
阶自同构群的有限群.
本文中 G 表示一个有限群, p 是奇素数, C
n
表示 n 阶循环群. Aut
c
(G) 表示 G 的中心自同构群,
即Aut
c
(G) = {α ∈Aut(G) | g
?1
g
α
∈ Z(G), ?g ∈ G}. A char G 表示 A 是 G 的特征子群. 其他符号都
是标准的.
引理1
[15]
P 为非交换 p- 群, |P|  p
3
, 若 |P/Z(P)|  p
4
, 则 |P| | |Aut(P)|.
引理2 设 G 是 m 阶幂零群, m = 2
α
p
α1
1
· · · p
αn
n
, p
1
< p
2
< · · · < p
n
为奇素数, α  0, α
i
 1. 若
群 G 的 Sylow p
i
- 子群都循环, Sylow 2- 子群循环或同构于 C
2
× C
2
则 2
n
| |Aut(G)|, 且当 α  1 时
2
α+n?1
| |Aut(G)|.
证明设 G = R ×P
1
×P
2
×· · · ×P
n
, R ∈Syl
2
(G), P
i
∈Syl
pi
(G), 则
|Aut(G)| = |Aut(R)|
n

i=1
|Aut(P
i
)|.

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