用二元一次不定方程解一类含[x]的方程

王凯成(笔名王凯),教授,全国优秀教师,教育部第三批国培计划专家库专家,曾宪梓奖获得者,全国初等数学研究会理事会常务理事,第六届中国幻方研究者协会普及教育部副部长,陕西省中小学教师队伍建设专家指导委员会委员,在《数学通报》等20多个数学刊物发表论文162篇,出版论著26本,2004年到2013年担任《陕西教育》特约编委。近年来被陕西师大、河南师大、宝鸡文理学院、郑州师院、成都师院等邀请给小学数学国培班作专题讲座。

用二元一次不定方程解一类含[x]的方程

陕西安康师范 王凯

一、预备知识

高斯函数y=[x]有如下性质：

1、 若M∈Z，则[M+x]=M+[x];

2、 [x]≤x＜[x]+1。

二元一次不定方程ax+by=c(a、b、c皆为整数，ab≠0)有整数解的充分必要条件是： (a,b)︱c。若(a,b)=1，且x0、y0是ax+by=c的一个特解，则ax+by=c的所有整数解为： ?x?x0?bt(其中t?Z)。 ?y?y?at0?

二、一类含[x]的方程的解法

以下我们总假定(a,b)=1，不再重述。

对于方程a[a1x?a2]+b[b1x?b2]=c (a?N,b、c?Z,a1?0,b1?0)，令a1x?a2=y， 即x?y?a2bab?a2b1；则b1x?b2=1y?12=dy+e(d≠0)。原方程化为a[y]+b[dy+e]=c，那a1a1a1

y?a2求得。 a1么a[a1x?a2]+b[b1x?b2]=c的解可以由a[y]+b[dy+e]=c的解通过x?

故以下只讨论a[x]+b[dx+e]=c(a?N,b、c?Z，b?0,d?0)这一情况。 a[x]+b[dx+e]=c(a?N,b、c?Z，(a,b)=1，b?0,d?0)。

解：令[x]=u，[dx+e]=v，得au+bv=c的所有整数解为：??u?u0?bt(t?Z)。从而有：

?v?v0?at

u0?bt?x?u0?bt?1……①。

由v0?at?dx?e?v0?at?1有：

1、 在a+bd=0时即v0?e?atv?e?at?1?x?0……②。 dda??b时， d

v?ev0?e?1i)当u0?1≤0或≤u0时，①与②的交集为空集，原方程无解。 dd

v?ev?e?1ii)当0＜u0?1或u0＜0时，①与②交集非空，其交集就是原方程的解集。 dd

2、 在a+bd>0时，

i)当u0?bt?1≤v0?e?atd(u0?1)?v0?e即≤t时原方程无解。 da?bd

王凯成(笔名王凯),教授,全国优秀教师,教育部第三批国培计划专家库专家,曾宪梓奖获得者,全国初等数学研究会理事会常务理事,第六届中国幻方研究者协会普及教育部副部长,陕西省中小学教师队伍建设专家指导委员会委员,在《数学通报》等20多个数学刊物发表论文162篇,出版论著26本,2004年到2013年担任《陕西教育》特约编委。近年来被陕西师大、河南师大、宝鸡文理学院、郑州师院、成都师院等邀请给小学数学国培班作专题讲座。

v0?e?at?1du?v0?e?1≤u0?bt即t≤0时原方程无解。 da?bd

du?v0?e?1d(u0?1)?v0?e由i)及ii)知在d＞－1的条件下，当0＜t＜(*)时原方程a?bda?bdii)当

有解。此时由(*)式定出整数t代入①与②，则①与②的交集就是原方程的解。

3、 在a+bd＜0时，

v0?e?atd(u0?1)?v0?e即t≤时原方程无解。 da?bd

v?e?at?1du?v0?e?1ii)当0≤u0?bt即t≥0时原方程无解。 da?bd

d(u0?1)?v0?edu?v0?e?1由i)及ii)知在d＞－1的条件下，当＜t＜0(*)时原方程a?bda?bdi)当u0?bt?1≤

有解。此时由(*)式定出整数t，代入①与②，①与②的交集就是原方程的解。

上述方法也适合于方程a[x]+b[dx+e]=c(a?N,b、c?Z，(a,b)=1，b?0,d＜0)的求解。

三、举例

例1 解方程：8[3x]－5[2x]=3（《数学教师》86年10期P24）

解：令[3x]=u，[2x]=v，则8u－5v=3的通解公式为：?

由1?5t?3x?2?5t ? ?u?1?5t(t?Z)。 v?1?8t?5t15t2??x??。 3333

1由1?8t?2x?2?8t? 4t??x?4t?1。 2

5t211当??4t?即t≥时原方程无解。 33214

5t12?即t≤?时原方程无解。 当4t?1?337

21121故当??t?即t=0时原方程有解。取t=0，则?x?且?x?1，从而有： 714332

12?x?。 23

1?x]+[3－2x]=2（苏州大学《中学数学》85年3期P35---39） 例2 解方程: [2

1?x1?x]+[1－2x]=0，令[]=u，[1－2x]=v，则u+v=0的通解公式为：解：原方程等价于[ 22

?u?t(t?Z)。 ??v??t

1?x?t?1?2t?1?x?2t?1。 2

tt?1由?t?1?2x?1?t??x?。 22由t?

王凯成(笔名王凯),教授,全国优秀教师,教育部第三批国培计划专家库专家,曾宪梓奖获得者,全国初等数学研究会理事会常务理事,第六届中国幻方研究者协会普及教育部副部长,陕西省中小学教师队伍建设专家指导委员会委员,在《数学通报》等20多个数学刊物发表论文162篇,出版论著26本,2004年到2013年担任《陕西教育》特约编委。近年来被陕西师大、河南师大、宝鸡文理学院、郑州师院、成都师院等邀请给小学数学国培班作专题讲座。

当2t?1?

当t2即t≤?时原方程无解。 23t?1?2t?1即t＞1时原方程无解。 2

21故当??t?1即t=0、1时原方程有解。t=1时x=1；t=0时0?x?。 32

1原方程的解为0?x?或x=1。 2

5x?13x?1]?10[]?1。 例3 解方程：3[24

解：令[?u??3?10t5x?13x?1]?u，[]?v，则3u－10v=1的通解为：?(t?Z)。 24v??1?3t?

5x?13??2?10t ?4t?1?x?4t?。 25

3x?151?3t ?4t??x?4t?。 由?1?3t?433

33从而有：4t?1?x?4t?t?Z)，故原方程的解为4t?1?x?4t?t?Z)的所有55由?3?10t?

实数。

例4 解方程：[3x－1]=[2x+1]（《湖南数学通讯》88年1期P25例7)

解：令[3x－1]=u，[2x+1]=v，则u－v=0的通解为：??u?t(t?Z)。

?v?t

t?1t?2?x?。 33

t?1t?x?。 由t?2x+1?t?1?22

tt?1t?2t?1?当?即t≤2时原方程无解；当即t≥7时原方程无解。故当2<t<723321?t?1?由t?3x－

即t=3、4、5、6时原方程有解。

435?x?；当t=4时原方程的解为?x?2；当t=5时原方程323

758的解为2?x?；当t=6时原方程的解为?x?。 323

435758故原方程的解为：?x?或?x?或?x?。 323323当t=3时原方程的解为

本文发表于《湖南数学通讯》1988年第5期P9---11。发表时署名陕西安康师范王凯(1982年到1989年在陕西省安康师范学校任教，取王凯成的前两个字作为笔名)。