初三压轴题讲解

初三压轴题讲解

1、如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=﹣x+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．

考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；将所求

得的二次函数解析式化为顶点式，即可得到其对称轴方程及顶点坐标；

（2）首先根据抛物线的对称轴方程求出E点的坐标，进而可得到F点的坐标，由此

可求出PF的长，即可判断出四边形OAPF的形状，然后根据其面积求出n的值，再

代入抛物线的解析式中即可求出m的值．

解答：解：（1）将A（4，0）、B（1，3）两点坐标代入抛物线的方程得：， 2

解之得：b=4，c=0；

2所以抛物线的表达式为：y=﹣x+4x，

22将抛物线的表达式配方得：y=﹣x+4x=﹣（x﹣2）+4，

所以对称轴直线为直线x=2，顶点坐标为（2，4）；

（2）点P（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4﹣m，n），

则点E关于y轴对称点为点F坐标为（m﹣4，n），

则FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，

所以四边形OAPF是平行四边形；

S=OA?|n|=20，即|n|=5；

因为点P为第四象限的点，

所以n＜0，

所以n=﹣5；

代入抛物线方程得m=﹣1（舍去）或m=5，

故m=5，n=﹣5．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及图形面积的求法，难度适中．

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．

（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3）若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形。

专题：几何综合题；压轴题。

分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP与△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的长；

（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CF∥DP交AB于F，易证得△ADE∽△AFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证△BCF∽△BPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在Rt△CEP中，根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值；

（3）过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式． 解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°，

∴∠BAC=60°．

∵AD=AE，

∴∠AED=60°=∠CEP，

∴∠EPC=30°．

∴△BDP为等腰三角形．

∵△AEP与△BDP相似，

∴∠EPA=∠DPB=30°，

∴AE=EP=1．

∴在Rt△ECP中，EC=EP=；

（2）设BD=BC=x．

在Rt△ABC中，由勾股定理，得：

（x+1）=x+（2+1），

解之得x=4，即BC=4．

过点C作CF∥DP．

∴△ADE与△AFC相似，

∴，即AF=AC，即DF=EC=2， 222

∴BF=DF=2．

∵△BFC与△BDP相似，

∴

∴tan∠BPD=，即：BC=CP=4． ．

（3）过D点作DQ⊥AC于点Q．

则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1﹣a．

∴且，

∴DQ=3（1﹣a）．

∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD=AQ+DQ

222即：1=a+[3（1﹣a）]，

解之得

∵△ADQ与△ABC相似，

∴

∴

∴△ABC的周长． ，

． ． 222

即：y=3+3x，其中x＞0．

点评：此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识的综合应用能力，难度较大．

3．（本题满分12分，每小题满分各4分）

33已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y?x?3的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数y?x的42

图像上，且MO＝MA．二次函数

y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，

点D在一次函数y?3x?3的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． 4

图1

24. (本题满分12分，每小题满分各4分)

[解] (1) 根据两点之间距离公式，设M(a,

即AM=33a)，由| MO |=| MA |, 解得：a=1，则M(1, ), 22。 2

(2) ∵ A(0, 3)，∴ c=3，将点M代入y=x2?bx?3，解得：b= ?55，即：y=x2?x?3。 22

(3) C(2, 2) (根据以AC、BD为对角线的菱形)。注意：A、B、C、D是按顺序的。

53n?3)，D(n, n?3)， 24

3513 | AB |=3?m，| DC |=yD?yC=n?3?(n2?n?3)=n?n2， 424 [解] 设B(0, m) (m<3)，C(n, n2?

35 | AD |=(n?0)2?(n?3?3)2=n， 44

135n?n2…?，| AB |=| AD |?3?m=n…?。 44

5 解?，?，得n1=0(舍去)，或者n2=2，将n=2代入C(n, n2?n?3)，得C(2, 2)。 2 | AB |=| DC |?3?m=

4．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin?EMP?

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

12． 13

图1 图2 备用图

(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)

[解] (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，?CP=24，又sin?EMP=12?CM=26。 13

(2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵ ?EAP=?BAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC，

∴ EPBCEP303，即，∴ EP=x， ??x404APAC

3x1212EP125 又sin?EMP=?tg?EMP==?=，∴ MP=x=PN， 135MP5MP16

521x=50?x (0<x<32)。 1616

EM1313EM13 (3) ? 當E在線段AC上時，由(2)知，?，?EM=x=EN， ?，即EP1216x12

4

511 又AM=AP?MP=x?x=x， 1616 BN=AB?AP?PN=50?x?

1113xxAMME 由題設△AME ~ △ENB，∴ ，?=，解得x=22=AP。 ?ENNBx50?x1616

? 當E在線段BC上時，由題設△AME ~ △ENB，∴ ?AEM=?EBN。

由外角定理，?AEC=?EAB??EBN=?EAB??AEM=?EMP，

3xACEP5040 ∴ Rt△ACE ~ Rt△EPM，?，即??，?CE=…?。 CExCEPM3

16

設AP=z，∴ PB=50?z，

由Rt△BEP ~ Rt△BAC，?

∴CE=BC?BE=30?BEBABE505，即=，?BE=(50?z)， ?PBBC350?z305(50?z)…?。 3

505 由?，?，解=30?(50?z)，得z=42=AP。 33

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

2