数学建模作业11.1

数学建模作业

数学建模作业11.1（第6组）

成员——纪鹏程:201311061017 宫庆周:201311061018 孔贺:201311061019

解 x,x

1分别表示自变量直接蒸馏成，重整汽油，原油热裂化，原,x,x,x,x,x234567

1

油催化油，聚合物，烷基化物，天然香精y分别表示因变量原辛烷值，自变量的观测数据矩阵记为

A?(aij)12?7

，因变量的观测数据矩阵记为

B?(bij)12?1

。

（1）数据标准化。将各指标值

aij转换成标准化指标值aij，

(1)

j

aij?

其中

aij??s

(1)j

,i?1,2,,12,j?

1,2,,7

即

?

(1)j

112(1)?a,??ijsjj?1,12i?17),

(1)为第个自变量的样本均值和样本标准差。对应地，称 j?(1),sxjjj

xj?

为标准化指标变量。

xj??s(1)j

(1)j

,j?1,7

（2）求相关系数矩阵。表11.1给出了这7个变量的简单相关系数矩阵。

求得的各对成分分别为

?u1??0.0906x1?0.0575x2?0.0804x3?0.1160x4?0.0238x5?0.0657x7,

?

?v1?3.1874y1

?u2??0.0212x1?0.3817x2?0.0072x3?0.2170x4?0.1606x5?0.0587x7,?

?v2?0.0582y1

?u3?0.0556x1?0.0995x2?0.0744x3?0.2825x4?0.2048x5?0.0530x7,?

?v3?0.0094y1

前三个成分解释自变量的比率为92.83%，只要取三对成分即可。 （4）求三个成分对时，标准化指标变量与成分变量之间的回归方程

得自变量组和因变量组与u

1

,u2,u3之间的回归方程分别为

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x1??2.9999u1?0.1186u2?1.0472u3,x5?1.9461u1?0.1267u2?1.9001 u3,x2?0.2095u1?2.7981u2?1.7237u3,x6?3.0547u1?1.2260u2?0.4044u3,x3??3.0044u1?0.1088u2?1.0386u3,x7??2.7279u1?1.3298u2?1.3002u3,x4??2.3543u1?0.7756u2-2.0454u3,y1?3.1874u1?0.7617u2?0.3954u3.

（5）求因变量组与自变量组之间的回归方程 把（3）中成分

ui代入（4）中yi的回归方程，得到标准化指标变量之间的回

yj,xj

归方程为

y1??0.1391x1?0.2087x2?0.1376x3?0.2932x4?0.0384x5?0.4564x6?0.1434x7将标准化变量分别还原成原始变量，得到回归方程

yj,xj(j?1,7)

y1?92.676?9.8283x1?6.9602x2?16.6662x3

?8.4218x4?4.3889x5?10.1613x6?34.529x7.（6）模型的解释与检验

为了更直观、迅速地观察各个自变量在解释

yj(j?1,

7)时的边际作用，可

以绘制回归系数图，见图11.2。这个图是针对标准化数据的回归方程的。

0.50.4

0.30.20.10-0.1-0.2

-0.3

12345678

图11.2 回归系数的直方图

从回归系数的直方图中可以观察到，原有催化裂化油和烷基化舞变量在解释回归方程时起到了极为重要的作用。

为了考察这三个回归方程的模型精度，我们以?为坐标值，对所有的样本点绘制预测图。y?是第

ij

j个因变量指标在第i个样本点(yij)的预测值。

(yij,yij)

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在这个预测图上，如果所有点都能在图的对角线附近均匀分布，则方程的拟合值与原值差异很小，这个方程的拟合效果就是满意的。原辛烷值的预测图见图11.3。

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

00102030405060708090100

图11.3 原辛烷值得预测值

计算和画图的Matlab程序：

clc,clear

ab0=load('11.1.txt'); %原始数据存放在纯文本11.1txt中

mu=mean(ab0); sig=std(ab0); %求均值和标准差

rr=corrcoef(ab0); %求相关系数矩阵

ab=zscore(ab0); %数据标准化

a=ab(: ,[1:end-1]);b=ab(:,end); %提出标准化后的自变量和因变量数据

[XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats]=plsregress(a,b)

xw=a\XS %求自变量提出成分系数，每列对应一个成分，这里xw等stacts.W yw=b\YS %求因变量提出成分的系数

ncomp=input('请根据PCTVAR的确定提出成分的个数ncomp=');

[XL2,YL2,XS2,YS2,BETA2,PCTVAR2,MSE2,stats2]=plsregress(a,b,ncomp) n=size(a,2); m=size(b,2); %n是自变量的个数，m是因变量的个数

%原始数据回归方程的常数项

beta3(1,:)=mu(n+1:end)-mu(1:n)./sig(1:n)*BETA2([2:end],:).*sig(n+1:end);

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%计算原始变量x1, …,xn的系数，每一列是一个回归方程

beta3([2:n+1], :)=(1./sig(1:n))'*sig(n+1:end).*BETA2([2:end], :) bar(BETA2','K') %画直方图

%求y1,…,ym的预测值

yhat=repmat(beta3(1, :),[size(a,1),1])+ab0(: ,[1:n])*beta3([2:end],:) ymax=max([yhat;ab0(: ,[n+1:end])]); %求预测值和观测的最大值 %下面画y的预测图，并画直线y=x

figure

plot(yhat(: ,1),ab0(: ,n+1),'*',[0:ymax],[0:ymax],'Color','k') legend('原辛烷值预测图',2)

结果显示为：

XL =

-2.9991 -0.1186 1.0472 0.9326 -0.1566 -0.0204 -1.9631 0.2095 -2.7981 1.7237 -0.3620 0.1570 0.0001 1.4779 -3.0044 -0.1088 1.0386 0.9314 -0.1230 0.0217 -1.9850 -2.3543 0.7756 -2.0454 -0.8163 -0.0772 0.0019 -2.3577

1.9461 -0.1267 -1.9001 1.8887 -0.1384 0.0002 -0.0494 3.0547 1.2260 0.4044 0.0395 0.0248 0.0010 2.0902 -2.7279 1.3298 -1.3002 0.0172 0.3153 -0.0018 -2.7744 YL =

3.1874 0.7617 0.3954 0.0506 0.1361 0.0247 2.4178 XS =

0.3102 0.2946 0.4124 -0.2843 0.0341 -0.0162 0.6160 0.3742 0.2326 0.0285 0.3988 0.3987 -0.3426 0.0948 0.3525 0.3323 -0.0451 0.2877 -0.5030 0.3330 0.0948 0.3081 -0.5721 -0.1307 0.2405 0.2316 -0.0671 0.1580 -0.0103 -0.0781 -0.7705 -0.0736 -0.2005 -0.0176 -0.0948 0.2441 -0.5101 0.2531 -0.4426 -0.1331 0.2593 0.5055 -0.3334 -0.0639 0.0619 0.0269 0.3721 0.0324 -0.1580 -0.3015 0.0361 0.0309 0.1346 0.0935 0.2324 -0.4107 -0.3157 0.0533 0.0924 0.0316 0.1571 0.1853 -0.1580 -0.2897 0.1142 0.0512 0.1377 -0.0498 0.3343 -0.2843 -0.3140 -0.1652 0.2688 0.1421 -0.5326 -0.6439 0.1125 -0.0246 0.3263 -0.2530 -0.5994 0.1318 -0.2892 -0.0316 YS =

4.9447 0.4285 0.1337 0.0089 0.0258 0.0046 0.4477

4.5048 0.1679 0.0171 0.0016 0.0016 -0.0010 -0.0822

3.9183 0.0805 -0.0583 -0.0066 -0.0196 -0.0019 -0.2030

1.6700 -0.3489 -0.0088 0.0015 0.0024 -0.0004 -0.0304 -0.9694 -0.2067 -0.0838 0.0047 0.0131 0.0031 0.3005

1.2789 -0.2869 0.0047 -0.0045 -0.0090 -0.0012 -0.1308 -3.2666 0.0287 0.0341 0.0031 0.0082 0.0002 0.0219 -2.6801 0.0915 0.0366 0.0041 0.0100 0.0015 0.1334 -3.0222 0.0443 0.0069 -0.0010 -0.0028 -0.0010 -0.1126

数学建模作业

-2.6312 0.0746 0.0044 -0.0005 -0.0022 -0.0002 -0.0427 -3.5110 -0.0767 0.0099 -0.0041 -0.0120 -0.0004 0.0000 -0.2362 0.0032 -0.0966 -0.0073 -0.0155 -0.0033 -0.3018 BETA =

1.0e+15 *

-0.0000

-1.1624

-2.4627

-0.6779

-2.8592

-0.7192

-3.6890

-0.3411

PCTVAR =

0.5736 0.1525 0.1921 0.0793 0.0025 0.0000 0.3585 0.9236 0.0527 0.0142 0.0002 0.0017 0.0001 0.5314 MSE =

6.4167 2.7360 1.7573 0.5245 0.0159 0.0001

2.3005

0.9167 0.0700 0.0217 0.0087 0.0084 0.0069 0.4722

stats =

W: [7x7 double]

T2: [12x1 double]

Xresiduals: [12x7 double]

Yresiduals: [12x1 double]

Warning: Rank deficient, rank = 6, tol = 2.551098e-15.

> In Ex11_1 at 8

xw =

-0.0906 -0.0212 0.0556 0.1060 -0.6026 -23.2918 4.1519 -0.0575 -0.3817 -0.0995 -0.0150 0.7005 -0.4982 -0.0408 -0.0804 0.0072 0.0744 0.1345 -0.2911 24.0208 -4.2767 -0.1160 -0.2170 -0.2825 -0.2697 -1.2337 0.9552 -0.0212 0.0238 -0.1606 -0.2048 0.2898 0.0229 -0.0109 -0.1457 0 0 0 0 0 0 0 -0.0657 0.0587 -0.0530 0.1737 2.1180 -1.7186 -0.2025 yw =

3.1874 0.0582 0.0094 0.0005 0.0013 0.0002 0.0181 请根据PCTVAR的确定提出成分的个数ncomp=3

XL2 =

-2.9991 -0.1186 1.0472

0.2095 -2.7981 1.7237

-3.0044 -0.1088 1.0386

-2.3543 0.7756 -2.0454 0.0000 0.0069