2011年全国初中数学竞赛预选赛试题版本1

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2011年全国初中数学竞赛预选赛试题版本1

2011年全国初中数学竞赛预选赛试题

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一、选择题（每小题4分，共24分） 1．如果分式

x?2

的值为零，则x等于（） 2

x?5x?6

A．2 B．－2 C．－2或2 D．2或3 l3

2．已知a、b、c为一个三角形的三边长，则4b2c2－（b2＋c2－a2）2的值为（

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）A．恒为正 B．恒为负 C．可正可负 D．非负

3．如图，直线l1、l2、l3表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A．一处 B．两处 C．三处 D．四处

4．某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图（如图1，图2），该校七、八、九三个年级共有800人。甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高。”乙说：“八年级共有学生264人。”丙说：“九年级的体育达标率最高。”。甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是（）

各年级人数分布情况

选择人数

260

250

225

七年级

图1

八年级九年级图2

A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲和乙及丙 5．若方程组?

?2x?y?k?1

有解，且2＜k＜4，则x－y的取值范围为（）

?x?3y?3

B．0＜x－y＜1 C．－3＜x－y＜1 D．－1＜x－y＜1 2

6．如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，AD＝13cm，cosB＝，则AC的长等于（）

A．0＜x－y＜

A．5cm B．6cm C．10cm D．12cm 二、填空题（每小题4分，共24分）

7．已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，则x＋y＋z＝_________。 8．已知m，n2）m＋（3－n＋7＝0，则

m＝__________,n＝___________。

9．如图，在△ABC中，O是△ABC与外角∠ACD的平分线BO、CO的交点，则∠BOC与∠A的关系是

________。

10．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于

点G，已知∠EFA＝58°，那么∠BEG＝__________°。

′ C F D A

B B C C D E 第10题图

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第9题图

11．如图，直线y＝kx－2（k＞0）与双曲线y＝k在第一象限内的交点为R，与x轴、y轴的交点分别为P、x

Q，过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于_________。

B C 第12题图

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第11题图

12．如图，BD：DC＝5：3，E为AD的中点，延长BE交AC于F，则BE：EF＝_________。

三、解答题（7个小题，共72分）

13．（8分）解方程：x?4x?7x?5x?8??? x?5x?8x?6x?9

14．（8分）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠AND，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明。

N M

B C

15．（8分）已知方程x2－kx－7＝0与x2－6x－（k＋1）＝0有公共根。求k

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的值及两方程的所有公共根和

所有相异根。

16.如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连结EF．（1）求证：ＥＦ∥ＢＣ；

（2）若四边形BDFE的面积是6．求△ABD的面积

17．（12分）如图，给定锐角三角形ABC，BC＜CA，AD、BE是它的两条高，过点C作△ABC外接圆的切线l，过点D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G。试比较线段DE和EG的大小，并证明你的结论。

l O E B

18．（13分）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产

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品，共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利1200元.

（1）按要求安排A、B两种产品的件数，有哪几种方案？请你设计出来；

（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y（元），其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明你所设计的方案中，哪种生产方案获得的利润最大？最大利润是多少？

19．（13分）如图，对称轴为直线x＝7的抛物线过点A（6，0）和B（0，4）。 2

（1）求抛物线解析式及定点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形。求OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ①当OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

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