2011年全国初中数学竞赛预选赛试题版本1
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2011年全国初中数学竞赛预选赛试题版本1
2011年全国初中数学竞赛预选赛试题
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l2
一、选择题(每小题4分,共24分) 1.如果分式
x?2
的值为零,则x等于( ) 2
x?5x?6
A.2 B.-2 C.-2或2 D.2或3 l3
2.已知a、b、c为一个三角形的三边长,则4b2c2-(b2+c2-a2)2的值为(
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3.如图,直线l1、l2、l3表示三条相交的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
4.某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图1,图2),该校七、八、九三个年级共有800人。甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后,甲说:“七年级的体育达标率最高。”乙说:“八年级共有学生264人。”丙说:“九年级的体育达标率最高。”。甲、乙、丙三个同学中,说法正确的是( )
各年级人数分布情况
选择人数
260
250
225
七年级
图1
八年级 九年级 图2
A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.甲和乙及丙 5.若方程组?
?2x?y?k?1
有解,且2<k<4,则x-y的取值范围为( )
?x?3y?3
1
B.0<x-y<1 C.-3<x-y<1 D.-1<x-y<1 2
5
6.如图,已知AD是△ABC的外接圆的直径,AD=13cm,cosB=,则AC的长等于( )
13
A.0<x-y<
A.5cm B.6cm C.10cm D.12cm 二、填空题(每小题4分,共24分)
7.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z=_________。 8.已知m,n2)m+(3-n+7=0,则
m=__________,n=___________。
9.如图,在△ABC中,O是△ABC与外角∠ACD的平分线BO、CO的交点,则∠BOC与∠A的关系是
A
D
________。
10.如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点C、D分别落在C′、D′的位置上,EC′交AD于
点G,已知∠EFA=58°,那么∠BEG=__________°。
′ C F D A
B B C C D E 第10题图
内容需要下载文档才能查看第9题图
11.如图,直线y=kx-2(k>0)与双曲线y=k在第一象限内的交点为R,与x轴、y轴的交点分别为P、x
Q,过R作RM⊥x轴,M为垂足,若△OPQ与△PRM的面积相等,则k的值等于_________。
B C 第12题图
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第11题图
12.如图,BD:DC=5:3,E为AD的中点,延长BE交AC于F,则BE:EF=_________。
三、解答题(7个小题,共72分)
13.(8分)解方程:x?4x?7x?5x?8??? x?5x?8x?6x?9
14.(8分)如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角∠AND,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN。试探究BM、MN、CN之间的数量关系,并加以证明。
A
N M
B C
D
15.(8分)已知方程x2-kx-7=0与x2-6x-(k+1)=0有公共根。求k
内容需要下载文档才能查看的值及两方程的所有公共根和
所有相异根。
16.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点,连结EF. (1)求证:EF∥BC;
(2)若四边形BDFE的面积是6.求△ABD的面积
17.(12分)如图,给定锐角三角形ABC,BC<CA,AD、BE是它的两条高,过点C作△ABC外接圆的切线l,过点D、E分别作l的垂线,垂足分别为F、G。试比较线段DE和EG的大小,并证明你的结论。
A
l O E B
18.(13分)某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产
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品,共50件,已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利700元;生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利1200元.
(1)按要求安排A、B两种产品的件数,有哪几种方案?请你设计出来;
(2)设生产A、B两种产品获得的总利润是y(元),其中一种的生产件数是x,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明你所设计的方案中,哪种生产方案获得的利润最大?最大利润是多少?
19.(13分)如图,对称轴为直线x=7的抛物线过点A(6,0)和B(0,4)。 2
(1)求抛物线解析式及定点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形。求OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; ①当OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由。
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