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§3-2 质点系的动量定理

上传者:胡晓明
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上传时间:2015-05-08
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§3-2 质点系的动量定理

§3-2 质点系的动量定理

1.由若干个质点组成的系统简称为质点系。质点系中各质点受到的系统外的物体对它们的作用力称为外力,质点系中各质点彼此之间的相互作用力称为内力。

2.质点系的动量定理(微分形式) 对i质点应用质点的动量定理:

Fi?FPi

外i?F内i?

ddt 对质点系中n个质点求和:

?

FdPi

外i?

内i?

i

?

Fi

?

i

dt

内力总是以作用力和反作用力的形式成对出现,求和的结果等于零,故

FdP外?dt

即:质点系所受的合外力等于质点系动量对时间的变化率。

3.质点系的动量定理(积分形式)

当力持续作用一段时间后,质点系动量变化的规律为

?

2?t

F外dt?

?

PPdP?P2?P1

1

?

?t

F外dt称为?t时间内质点系受到的合外力的冲量,用I外表示,P1和P2是质点系初态和

末态时的动量,所以有

I外?P2?P1

即:在某段时间内,质点系受到的合外力的冲量等于质点系(总)动量的增量。

4.对质点系而言,内力不改变系统的总动量,内力使动量在系统内转移和交换。只有外力改变系统的总动量。

例3.1 质量m=1.0kg的小球以初速率v0=20.0m/s沿水平方向抛出,求一秒钟之后小球速度的大小和方向(不计空气阻力)。

解 此题可用动量定理求解。小球抛出时的初动量P

1?mv0?20kg?m/s,沿水平方向,一秒钟之内小球所受重力的冲量I?mg?t?9.8N?s,方向竖直向下。根据(3-4)式的矢量关系可作图如图3-3,则一秒钟后动量P2的大小为

P2?P12?I2?(20)2?(9.8)2

?22.3kg?m/s

速度大小为

v?

P2

m

?22.3m/s y

p1

m

?

Iv

v0

p1

2

2

x

O

(3-5)

(3-6)

(3-7)

例3.1图 例3.2图

速度方向为 ??I9.8?)?26.1? P20

例3.2 如图所示,质量m=0.15kg的小球以v0=10m/s的速度射向光滑地面,入射角 1?30?,然后沿 2?60?的反射角方向弹出。设碰撞时间?t?0.01s,计算小球对地面的平均冲力。

解 因为地面光滑,地面对小球的冲力沿法线方向竖直向上,水平方向小球不受作用力。设地面对小球的平均冲力为F,碰后小球速度为v。建立坐标如图,根据质点的动量定理有

由此得

代入数据 ?0.15?10

0.01?2?0.15?9.8?175N ?v?v0sin 1 sin 2Ix?0?mvsin 2?mv0sin 1 Iy?(?mg)?t?mvcos 2?(?mv0cos 1) mvsin( ? )?mg ?t?sin 2

小球对地面的平均冲力就是F的反作用力。在本题中考虑了重力的作用,事实上重力mg?0.15?9.8?1.47N,不到F的1%,因此完全可以忽略不计。

例3.3 木板B静止置于水平台面上,小木块A放在B板的一端上,如图所示。已知mA=0.25kg,mB=0.75kg,小木块A与木板B之间的摩擦因数?1?0.5,木板B与台面间的摩擦因数?2?0.1。现在给小木块A一向右的水平初速度

v0=40m/s,B恰好具有相同的速度?(设问经过多长时间A、

B板足够长.)

解 当小木块A以初速度v0向右开始运动时,它将

受到木板B的摩擦阻力的作用,木板B则在A给予的摩擦

力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动。如果将木板B与小木块A视为一个质点系

A、B之间的摩擦力就是内力,统,不改变系统的总动量,只有台面与木板B之间的摩擦力Fk才是系统所受的外力,改变系统的总动量。设经过?t时间A、B具有相同的速度v,则根据质点系的动量定理有

以及

得: v?(mA?1v0??2)? mA?mB?1??2

F?BA v0 B ?Fr?t?(mA?mB)v?mAv0 kFr??2(mA?mB)g k再对小木块A单独予以考虑,A受到

以及 给予的摩擦阻力krk,应用质点的动量定理 ?Fr??t?mAv?mAv0

解得:

代入有关数据,最后得出

Fr???1mAg k?t?v0?v ?1gv?2.5m/s,?t?7.65s

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