第四节 复数系对负数开放封闭 (初等数论)
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第四节 复数系对负数开放封闭 (初等数论)
第四节 复数系对负数开放封闭
1005403042 邱莉莉 小教3班
教学目标：了解复数系扩充的过程；理解复数的概念。
目录：
1. 复数的引入
2. 引入复数的方法
3. 复数的定义
4. 复数四则运算
5. 复数的大小
1.复数的引入
对数和数系进行持续的扩充，是人类生产发展和社会进步的需要，也是数学自身发展的需要。
我们知道，对于实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0,当b^2-4ac＜0时，没有实数根，这说明人们在研究代数方程过程中，限制实数集合，有些问题就无法解决。因此，需要把实数集进一步扩充。
复数是16世纪人们在解决二次方程、三次方程时引入的，大约经过了一个世纪，才逐步形成完整的理论。现在，它已在数学、力学、电学以及其他科学里得到广泛应用，是现代科学技术上普遍使用的一种数学工具。
2.引入复数的方法
引入复数的方法，一般都是先引进新的符号”i”，并定义i^2=-1. 虚数单位 i 负数（比如 -2）不能开平方的主要障碍是√ 1 不知何数？有了√ 1 的归属，负数 开平方便不成问题， 为此专门引进数学符号 i， 规定 i 是 －1 的一个平方根， 即i^2=- 1， 称 i 为虚数单位。
i 与虚数可以进行运算 规定 i 与实数间的运算满足实数运算时的运算法则
3.复数的定义
规定a+ bi 形式的数为复数，一般表以Z =a+ bi,称 a 为 Z 的实部，b 为 Z 的虚部。 （请注意，复数的实部，虚部都是实数。）
分类Z =a+ bi 当b=0 时，z=实数 ；当 b≠0 时，z=虚数。实数是虚部等于 0 的复数，虚数是虚部不为 0 的复数，在虚数中，若实部为 0 称为 纯虚数：Z=bi (b≠0) ．
4. 复数四则运算
复数的四则运算法则：
若复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R，则 z1±z2=（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i， （a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i， （a+bi）÷(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +((bc-ad)/(c^2+d^2))i 其实两复数相除，完全可以转化为两复数相乘：（a+bi）÷(c+di)=（a+bi）/(c+di)，此时分子分母同时乘以分母c+di的共轭复数c-di即可。
复数的加法乘法运算律：
z1+z2=z2+z1 （z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) z1z2=z2z1
z1(z2z3)=(z1z2)z3 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
5.复数的大小
复数域中不能定义全序，使得按这种序保持加法保序，以及乘正数保序。所以，复数域不是阿基米德全序域，即在通常意义下复数没有“大小”。实数域时复数域的一个子域，因为复数a+0i=a。复数域是代数封闭的，即在复数域中任何一个具有复数系数的代数方程至少有一个解。
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