第四节 复数系对负数开放封闭 (初等数论)
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第四节 复数系对负数开放封闭 (初等数论)
第四节 复数系对负数开放封闭
1005403042 邱莉莉 小教3班
教学目标:了解复数系扩充的过程;理解复数的概念。
目录:
1. 复数的引入
2. 引入复数的方法
3. 复数的定义
4. 复数四则运算
5. 复数的大小
1.复数的引入
对数和数系进行持续的扩充,是人类生产发展和社会进步的需要,也是数学自身发展的需要。
我们知道,对于实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0,当b^2-4ac<0时,没有实数根,这说明人们在研究代数方程过程中,限制实数集合,有些问题就无法解决。因此,需要把实数集进一步扩充。
复数是16世纪人们在解决二次方程、三次方程时引入的,大约经过了一个世纪,才逐步形成完整的理论。现在,它已在数学、力学、电学以及其他科学里得到广泛应用,是现代科学技术上普遍使用的一种数学工具。
2.引入复数的方法
引入复数的方法,一般都是先引进新的符号”i”,并定义i^2=-1. 虚数单位 i 负数(比如 -2)不能开平方的主要障碍是√ 1 不知何数?有了√ 1 的归属,负数 开平方便不成问题, 为此专门引进数学符号 i, 规定 i 是 -1 的一个平方根, 即i^2=- 1, 称 i 为虚数单位。
i 与虚数可以进行运算 规定 i 与实数间的运算满足实数运算时的运算法则
3.复数的定义
规定a+ bi 形式的数为复数,一般表以Z =a+ bi,称 a 为 Z 的实部,b 为 Z 的虚部。 (请注意,复数的实部,虚部都是实数。)
分类Z =a+ bi 当b=0 时,z=实数 ;当 b≠0 时,z=虚数。实数是虚部等于 0 的复数,虚数是虚部不为 0 的复数,在虚数中,若实部为 0 称为 纯虚数:Z=bi (b≠0) .
4. 复数四则运算
复数的四则运算法则:
若复数z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,则 z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i, (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i, (a+bi)÷(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +((bc-ad)/(c^2+d^2))i 其实两复数相除,完全可以转化为两复数相乘:(a+bi)÷(c+di)=(a+bi)/(c+di),此时分子分母同时乘以分母c+di的共轭复数c-di即可。
复数的加法乘法运算律:
z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) z1z2=z2z1
z1(z2z3)=(z1z2)z3 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
5.复数的大小
复数域中不能定义全序,使得按这种序保持加法保序,以及乘正数保序。所以,复数域不是阿基米德全序域,即在通常意义下复数没有“大小”。实数域时复数域的一个子域,因为复数a+0i=a。复数域是代数封闭的,即在复数域中任何一个具有复数系数的代数方程至少有一个解。
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