区域性地面沉降量预测的灰色与时间序列方法

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区域性地面沉降量预测的灰色与时间序列方法

水利水电技术　第36卷　2005年第2期

区域性地面沉降量预测的

灰色与时间序列方法

王仁超,谭学奇,王秀杰,邬　旺

(天津大学建筑工程学院,天津　300072)

【摘　要】　由于特殊的地形、地质条件,海河流域因地下水超采造成的地面沉降现象较为严重.选用海

河流域沧州地区的地面沉降历史情况作为特殊示例,运用灰色模型(GM)和时间序列模型(ARMA)进行建模、预测,最后尝试将两种模型混合,建立新的预测模型,根据实测沉降数据进行建模,预测未来地面沉降.此外,对三种模型进行比较、说明,来阐述混合模型优越性,以期为整个海河流域的地面沉降研究提供适合的方法.,达到了较好的效果,从而证明了其实用性与可信度.【关键词】　时间序列模型;灰色模型;地面沉降

中图分类号:P642126(222)　　　　文献标识码:A0860(2005)0220032204

lforecastwithGMandARMA2chao,TANXue2qi,WANGXiu2jie,WUWang

(SchoolofCivilEngineering,TianjinUniversity,Tianjin　300072,China)

Abstract:Theregionallandsubsidenceinducedbytheover2extractionofgroundwaterismoreseriouswithinHaiheRiverBasinduetothespecialtopographicandgeologicalconditions.Asaspecialcase,thehistoricaldataofthelandsubsidenceinCangzhouareawithinHaiheRiveraretobeusedtodevelopthemodelsfortheforecastofthesubsidencethereinwithbothGMmodelandARMAmodel,andthenanewforecastmodelforpredictingthefuturesubsidenceconcernedisdevelopedwiththecombinationofboththemodelsbasedontheactualmeasureddata.Moreover,comparisonandinterpretationaremadeamongthemodelstoex2plaintheadvantageofthecombinedmodel,fromwhichasuitablemethodforforecastingthegroundsubsidenceinthewholebasinisexpectedaswell.Withtheintegrationofthefeaturesfromboththeoriginalmodels,thenewmodelisprovedtobesatisfactorythroughtheexaminationmadeontheactualcasewithbetterpracticalityandreliabilityatlast.Keywords:ARMA;GM;landsubsidence

1　引　言

地面沉降是指在自然和人为因素作用下,由于地壳表层土体压缩而导致区域性地面标高降低的一种环境地质现象.一般而言,主要是不合理开采地下流体(地下水、天然气和石油等)所致,这就是我们通常所说的区域性地面沉降.

引起区域性地面沉降的原因是多方面的:如高层建筑物加载,日益增加的交通运输量对土的震动,开采浅层天然气,地壳的局部上升或下降运动,地下水的过

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量开采等等,其中最主要的原因是过量开采地下水.粘性土层的存在是地面沉降发生的内在原因,而地下水位的大幅度下降是地面沉降发生的外在条件,地下水位下降速率的差异是引起地面不均匀沉降的重要原因.地面沉降对人民生活、城市建设、工农业生产带来诸多隐患,正确预测地面沉降的速率、沉降量,是采取适当的控制沉降措施的前提.收稿日期:2004206207

作者简介:王仁超(1963—),男,副教授,博士,研究生导师.

WaterResourcesandhydropowerEngineeringVol.36No.2

王仁超,等∥区域性地面沉降量预测的灰色与时间序列方法

由于区域性地面沉降影响因素多,因此当前区域

性地面沉降预测主要是采用根据历史数据判定地面沉降的特征参数的预测方法.采用时间序列方法研究对地面沉降未来数值进行预测时,涉及诸多因素,并且不规则变动对结果的影响较大,只有当样本含量较多时才能得到较为满意的结果,而当样本含量较少时,经典时间序列模型的预测结果常不理想.同时,灰色模型预测研究模型参数的最小二乘法求解结果只对变化平稳的原始数据序列的拟合优度和预测精度较高,但对变化非平稳的原始数据序列的拟合优度和预测精度往往偏低,而地面沉降问题构成的原始数据序列并非总是平稳变化的.

综上所述,本文尝试将两种方法结合起来,建模预测区域性地面沉降的沉降量,并以华北沧州地区地面沉降预测问题为例进行了实例研究,验证方法的科学性和可行性.

2　地面沉降预测模型选择

因素的影响,.,模型不同的物理背景,,不一定非要明确因果关系;据,而时间序列模型关于影响预测变量的决定性因素的信息很少.灰色系统建模方法是着重挖掘系统行为数据间内在关系的量化方法,是系统输出的单序列建模.时间序列模型具有随机差分方程的形式,采用它不仅可以揭示动态数据本身的结构与规律,即定量地了解观测数据之间的相关性,预测其未来值,而且还可以从多方面研究系统的有关特性,从而可对系统施加合适的控制来获得所希望的系统工作性能.灰色预测模型的预测精度采用残差、后残差检验、关联度检验三种检测方式,时序分析在短数据(即数据量少)时尤为精确,而且时序模型是动态模型,它对动态数据有外延特性.

两种模型都具有自身的优越性,但在过去对地面沉降的研究预测中大多单独应用,很少尝试将两种模型结合起来,两者的优点与局限性和若干相关和互补的因素为两者的结合提供了可能,各自特点保证其结合可以相对准确地预测地面沉降的未来数值.2.1　灰色动态模型

律,关键在于人们用适当的方法去挖掘它,然后利用

它.

灰色系统分析主要是基于灰色关联分析,基于数据生成微分方程.灰色建模通过对原始数据列作累加生成,通过数的生成序列或算子作用,根据变化规律基本上符合指数规律,并做出估计和分析,以指导未来行动的方向,达到未来事件的不确定性最小化.灰色模型是生成数据模型,它使原始数据生成出现某种规律,再拟以微分方程进行建模,使其建立的模型具有较高的精度,通过逆生成而求得预测值.

非负原始数据序列

(0)(0)(0)(0)

(1)x=(x(1),x(2),…,x(n))

作一阶累加生成序列1—AGO为

(1)(1)(1

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)(1)

(2)x=(x(1),x(2),…,x(n))

则GM(1,1)模型白化微分方程为

(1)(1)

(3)dx/dtax=u

u,(a,u).

TT-1T

(4)=(a,u)=(BB)Byn

(1)(1)

-[x(1)+x(2)]12

(1)(1)-[x(1)+x(3)]12B=

-xyn=

(1)(1)

[x(n-1)+x(n)]2(0)(0)

;

(2(3)(n.

-atea-aKea

(0)

时间响应为

(l)

(t)=x

(0)

(l)-(5)

离散响应为

(l)

(K+1)=x

(0)

(l)-(6)

基于灰色动态模型(即GreyDynamicModel,简记

GM)的预测,称为灰色预测.灰色系统理论研究认为,尽管客观事物或系统表象复杂,数据离乱,但它总是有整体功能的,总是有序的,它必然潜藏着某种内在规

水利水电技术　第36卷　2005年第2期

残差检验法,计算残差

(0)(0)(0)

(7)q(i)=x(i)-x^(i)　i=1,2,…,n

相对误差

(0)(0)

(8)c(i)=q(i)/x(i)

(0)0

式中,残差q(i),相对误差c(i),实测值x(i),计算

(0)

值x^(i).

后验差比值为

(9)c=s2/s1

王仁超,等∥区域性地面沉降量预测的灰色与时间序列方法

小误差概率为

(0)(0)

(10)p={q(i)-<016745s1}

预测模型精度由c和p共同刻画.当模型经检验满足精度要求以后,方可利用模型进行预测.2.2　时间序列模型

按时间顺序产生和排列的观察数据序列称为时间序列,如果序列是连续的,称为连续时间序列.时间序列分析方法的特点是观察值排列顺序和前后观察值之间是统计相关的,数据的统计是用观察值之间的相关或自相关函数来表示,根据该变量过去的变化规律来预测其未来的变化.时间序列分析建立一种模型,它能实现把不独立的观察数据变成独立数据的转换,然后利用对于独立观察值的统计方法进行估计、预测和控制.

ARMA模型(特别是其中的AR模型)是时序方法中最基本的、实际应用最广的时序模型,ARMA模型具有随机差分方程的形式.

对于平稳、正态、零均值的时序(yt),若yt的取值不仅与其前n步的各个取值,yt-1,yt-2,…,yt-n有关,而且还与前m部的干扰at-1,at-2,…,at-m有关(=1,2,…),则一般的ARMAyt=<1yt-1+<2yt-2-θ1t--θ(11)2at-2-…-t+at<i(i=1,2,…,n),j(j=1,2,…,m)分别为各部分的模型参数,随机项(at)是白噪声序列.此模型虽然较精确,但未知参数众多,一般的解法比较麻烦.通常在沉降上应用的是其中比较简单的ARMA(1,1)模型,如下

(12)yt=<1yt-1-θ1at-1+at同时yt可以表示为

σMε=yt-aM,1yt-1-…-aM,Myt-M

θσε其中待定参数<1、.1、M、

建模要对误差适时修正,由t时刻预测t+1,t+2,

…,t+l时刻的沉降量存在误差,但此时只知道各预测时刻的统计误差,确切的误差尚不知道.但到了t+1时刻,实测值yt+1已知,因而此时刻的预测误差也已知,利用该已知的误差,可以修正以后的预测值

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,其公式为

yt+1(l)=yt(l+1)+Ψ1at+1　　　

=yt(l+1)+Ψ1[yt+1-yt(1)](13)

在t+1时刻预测t+l+1时刻的预测量时,应该在前一时刻(即t时刻)预测t+l+1时刻的预测值,再加上一个适时修正因子

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Ψ1[yt+1-yt(1)],亦即t+1时刻的预测误差乘上一个权重因子.2.3　沧州地区地面沉降的建模、预测和分析

对于沧州地区地面沉降数值原始序列w(t),基于

两种模型的特点将其分解为

(14)w(t)=x(t)+y(t)

x(t)即为原始序列的确定性趋势,其估计方法即第2.1节中的灰色动态模型,残差序列y(t)=w(t)-(l)(l)

x^(t),其中x^(t)=x^(t)-x^(t-1).

y(t)为原始序列的随机趋势,用第2.2节中的AR

模型拟和表示,然后用Marple算法进行参数估计,定义其向前与向后预报误差分别为

fM,k

=y(k+M)+∑aM,iy(k-M-i)

i=1M

(15)(16)

bM,k=y(k)+∑aM,iy(k-i)

i=1

式中,1≤k≤N-M,N为样本长度.

预报误差总能量为

(17)eM=∑(fM,k+bM,k)=∑aM,i∑aM,jrM(i,j)

N-Mi=1

i=0j=0

其中rM(j)[kM-i)y(k-M-j)+

k=1

N-M

y(-+j)](M).

M=0(i=1,2,…,M),则eM=∑aM,j×

i=0aM,i

rM(0,j).　　

写成矩阵的形式为:EM=RMAM,考察RM得到

r,i)M(i,j)=rM(M-i,M-j)=rM(j

(18)

TVTV

故RM可分解为:RM=TMTM+(TM)TM.其中TM,

TM为Toeplitz矩阵,利用RM为广义对称及TM,TM的

Toeplitz性质,可推出系数aM,i(i=1,2,…,M).最后准

确定阶得出预测表达式

w^(t1)=x^(t1)-y^(t1),t1=t+τ

)=其中y^(t+τ

(19)

M+1

σ0

β(τ)y(t-∑

j=0

j),

βτ)0(

而且,M

βM-1(σ0,s=0

cs1=

aM,1MaM,M-1

010

000

aM,1

crcτ+1M;cτ-M-…-∑aM,rcs+r,1≤s≤M

r=1s

-∑aM,rcs-r,M>s.

r=1

将上述方法编程实现,建立沧州地面沉降数值

预测模型,同时分别应用灰色模型和时间序列模型建模预测.以1970～1979年的数值为原始序列,预测未来年份沉降情况,并比较三者预测结果(见表1、表2).

水利水电技术　第36卷　2005年第2期

王仁超,等∥区域性地面沉降量预测的灰色与时间序列方法

表1　建模原始数据序列

年份实测值

1970197119721973197419751976197719789

197927

部滨海地区,地处九河之梢,濒临渤海,地面沉降现象

与危害在整个海河流域具有普遍性,沧州地区又是12个沉降中心之一.对沧州地区的研究与地面沉降情况的预测具有代表性,而且沧州沉降的发展受周边地区影响,同时对周边地区的地面沉降产生巨大的作用,由此可为其他地区的探讨研究提供实例,做到以小见大.经过验证,构造时间序列和灰色混合模型使预测数据更为精确,而且用于长期预测效果较好,可以对海河流域的研究与治理提供检验模型,为整个流域各个地区地面沉降研究与发展变化提供有效参考.参考文献:

[1]　邓聚龙.灰预测与灰决策[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.[2]　杨叔子,吴　雅,等.时间序列分析的工程应用(上册)[M].1992.[3]　任　荣.试论华北平原的城市地面沉降与防治———以沧州市为例

[J].工程勘察,1993,(4).

[4]　刘俊龙.[J].地

　表2　两个模型与实测值的比较(1980～1986年)　mm

年份实测值混合

GMARMA

198073695176

198179807278

1982104959090

19837289107101

1984120120131114

1985169155184129