教育资源为主的文档平台

当前位置: 查字典文档网> 所有文档分类> > 数学> 连续统假设的否定三

连续统假设的否定三

上传者:黄聪
|
上传时间:2015-05-08
|
次下载

连续统假设的否定三

连续统假设的否定(三)

一、 摘要:本文用否定连续统假设某一个推论的方法来否定

连续统假设

二、 关键词:(一)连续统假设 (二)可测集 (三)可测

函数 (四)零测集 (五)收敛 (六)一致收敛

三、 连续统假设的推论(4)(一)(简称推论(4))

存在一个实变数函数的无穷序列{fn(x)}(n为任意自然数),它在每一个不可数集上收敛,但不一致收敛。

下面我们证明推论(4)不成立。

四、证明过程

引理一、可测集E的任一子集都可测。

证:设集合E1为可测集E的任一子集,则集合E1及E-E1都是可测集,否则若其中之一,如E1不可测,则E=E1+(E- E1)也不可测,和E为可测集的假设矛盾,故E1及E-E1皆为可测集。

引理二、设函数列{fn(x)}(n为任意自然数)定义在可测集E上,则{fn(x)}皆为E上的可测函数。

证:根据假设,{fn(x)}(n为任意自然数)定义在可测集E上,则{fn(x)}在E的子集E(fn(x)>t)(n为任意自然数,t为任意实数)上也有定义,根据引理一,E的子集E(fn(x)>t)(t为任意实数)都是可测集,根据可测函数的定义,所有的{fn(x)}皆为E上的可测函数。

定理一、设E为任意一个不可数集,{fn(x)}(n为任意自然数)为定义在集合E上任意一个几乎处处收敛而且几乎

' 处处有限的实数序列,其极限函数f(x)也几乎处处有限,则

' ' 至少存在E的一个有界不可数子集E1{f(x)}在E'δ,使1δ上一

致收敛于f(x)。

证:根据笔者所写的连续统假设的否定(一)一文中的引理一,E中存在凝聚点X,且X∈E,设E中所有凝聚点的集合为E1,根据该文的引理二,E1为不可数集,且为闭集,故E1为可测集[二],下面分两种情况讨论:

(一) 当E1无界时,取其有界的一段E'1。

(二) 当E1有界时,改E1为E'1。

' ' 由于E1为E1的子集,根据引理一,E'1可测,由于E1

是有界集合,故m E'1<+∞,又根据假设,{fn(x)}为定义在E

上几乎处处收敛的实函数列,其极限函数为f(x),故{fn(x)}

在E的子集E'且在E'1上也有定义,1上也几乎处处收敛于f(x),

' {fn(x)}既定义在E'根据引理二,{fn(x)}皆为E'1上,1上的可测

函数,且其极限函数f(x)在E'1上也可测[三],又根据假设,

{fn(x)}及f(x)在E上几乎处处有限,则{fn(x)}及f(x)在E的子

' ' 集E1上也几乎处处有限,因此可测集E1及函数列{fn(x)}在' E1上满足叶古洛夫定理的条件,根据叶古洛夫定理,存在 ' ' E'1的一个可测子集E1δ,使{fn(x)}在E1δ上一致收敛于极限函数

' f(x),其中E'1- E1δ为零测集。

' ' ' ' 最后还要证明E'1δ为不可数集,由于E1=E1δ+( E1- E1δ),

根据笔者所写的连续统假设的否定(一)一文中的引理二,可知E1为不可数集,又根据同文的引理三,可知 E1中全由

' 凝聚点组成的有界子集E'也为不可数集,如果E'11δ不为不可

数集,则E',于是E'1δ为至多可数集(一)1也为至多可数集,

那就和前面所证出的结果矛盾,故E'1δ为不可数集。

这样,对于任意一个不可数集E中任一个几乎处处收敛

的实函数列{fn(x)},都至少存在E的一个有界不可数子集E'1δ

' (因E',使{fn(x)}在E'1δ?E1?E)1δ上一致收敛于极限函数

' f(x),其中E'1- E1δ为零测集。

于是连续统假设的推论(4)[一]被推翻。

' 四、 连续统假设的否定

推论(4)是在连续统假设成立的假设下推导出来的, 现在证出推论(4)不成立,说明连续统假设也不成立(因原命题和逆否命题等价),通常所说的连续统假设指的是狭义连续统假设,它是广义连续统假设的特殊情况,狭义连续统不成立,广义连续统假设就更不能成立。

到现在为止,否定连续统假设的工作已取得很大的成就。

注解(一):现在假设a(可数集的势)和c(不可数集的势)之间没有中间势,即假设连续统假设成立,推论(4)是在连续统假设成立的假设下推导来的,现在根据同样的假

设,又证出推论(4)不成立,这就出现矛盾,此矛盾说明连续统假设不成立。

参考文献(一):连续统假设 (张锦文 王雪生)合著 出版地点:沈阳辽宁教育出版社

出版时间:1989年4月

参考文献(二):实变函数及泛函分析基础 程其襄等著 出版地点:北京高等教育出版社

出版时间:1983年12月

参考文献(三):实变函数论 徐森林著

出版地点:合肥中国科学技术大学出版社

出版时间:2002年2月

作者:陈守仁 河北大学数学系本科

六O届毕业生

退休前担任天津市家电五厂职工业校

数学教师

版权声明:此文档由查字典文档网用户提供,如用于商业用途请与作者联系,查字典文档网保持最终解释权!

下载文档

热门试卷

2016年四川省内江市中考化学试卷
广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
山东省滨州市三校2017届第一学期阶段测试初三英语试题
四川省成都七中2017届高三一诊模拟考试文科综合试卷
2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(附答案)
重庆市永川中学高2017级上期12月月考语文试题
江西宜春三中2017届高三第一学期第二次月考文科综合试题
内蒙古赤峰二中2017届高三上学期第三次月考英语试题
2017年六年级(上)数学期末考试卷
2017人教版小学英语三年级上期末笔试题
江苏省常州西藏民族中学2016-2017学年九年级思想品德第一学期第二次阶段测试试卷
重庆市九龙坡区七校2016-2017学年上期八年级素质测查(二)语文学科试题卷
江苏省无锡市钱桥中学2016年12月八年级语文阶段性测试卷
江苏省无锡市钱桥中学2016-2017学年七年级英语12月阶段检测试卷
山东省邹城市第八中学2016-2017学年八年级12月物理第4章试题(无答案)
【人教版】河北省2015-2016学年度九年级上期末语文试题卷(附答案)
四川省简阳市阳安中学2016年12月高二月考英语试卷
四川省成都龙泉中学高三上学期2016年12月月考试题文科综合能力测试
安徽省滁州中学2016—2017学年度第一学期12月月考​高三英语试卷
山东省武城县第二中学2016.12高一年级上学期第二次月考历史试题(必修一第四、五单元)
福建省四地六校联考2016-2017学年上学期第三次月考高三化学试卷
甘肃省武威第二十三中学2016—2017学年度八年级第一学期12月月考生物试卷

网友关注

2019国家公务员考试行测模拟题之宪法考点
国家公务员考试申论模拟题:应该如何提高网速
2019国考暑期行测题库:行测每日一练常识判断练习题08.03
国家公务员考试申论模拟题:裸条借贷
2019国家公务员考试申论模拟题:公共文化服务
国家公务员考试行测题库:行测常识判断模拟题0906
国家公务员考试申论模拟题:我国的城镇化发展带来哪些益处
2019国考暑期行测题库:行测每日一练判断推理练习题08.01
2019国考暑期行测题库:行测每日一练言语理解练习题08.06
2019国考暑期行测题库:行测每日一练言语理解练习题08.24
2019国考暑期行测题库:行测每日一练判断推理练习题08.07
2019国考暑期行测题库:行测每日一练判断推理练习题08.21
国家公务员考试行测题库:行测资料分析模拟题02
2019国考暑期行测题库:行测每日一练数量关系练习题07.31
2019国家公务员考试行测题库:行测资料分析模拟题0927
2019国考暑期行测题库:行测每日一练数量关系练习题08.17
国家公务员考试行测题库:行测资料分析模拟题0806
国家公务员考试申论模拟题:格桑德吉—墨脱的护梦人
2019国考暑期行测题库:行测每日一练言语理解练习题08.08
国家公务员考试行测题库:行测数量关系模拟题0913
国家公务员考试申论归纳概括模拟试题:我国儿童睡眠不足
2019国家公务员考试申论模拟题:我国“一带一路”发展过程中所面临的挑战
2019国家公务员考试行测题库:行测判断推理模拟题0917
国家公务员考试行测题库:行测资料分析模拟题0820
2019国家公务员考试申论模拟题:打破封闭式小区的门,实行街区制
国家公务员考试行测题库:行测资料分析模拟题0830
2019国家公务员考试申论模拟题:体育教育的困境
国家公务员考试行测题库:行测资料分析模拟题0827
国家公务员考试行测题库:行测言语理解模拟题0910
2019国考暑期行测题库:行测每日一练数量关系练习题08.13

网友关注视频

沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 10
沪教版八年级下次数学练习册21.4(2)无理方程P19
沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 3
第五单元 民族艺术的瑰宝_16. 形形色色的民族乐器_第一课时(岭南版六年级上册)_T1406126
化学九年级下册全册同步 人教版 第22集 酸和碱的中和反应(一)
二次函数求实际问题中的最值_第一课时(特等奖)(冀教版九年级下册)_T144339
沪教版八年级下册数学练习册21.3(3)分式方程P17
冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的竖式计算》
外研版八年级英语下学期 Module3
七年级下册外研版英语M8U2reading
青岛版教材五年级下册第四单元(走进军营——方向与位置)用数对确定位置(一等奖)
第8课 对称剪纸_第一课时(二等奖)(沪书画版二年级上册)_T3784187
苏教版二年级下册数学《认识东、南、西、北》
二年级下册数学第一课
沪教版八年级下册数学练习册21.3(2)分式方程P15
六年级英语下册上海牛津版教材讲解 U1单词
飞翔英语—冀教版(三起)英语三年级下册Lesson 2 Cats and Dogs
【获奖】科粤版初三九年级化学下册第七章7.3浓稀的表示
外研版英语七年级下册module3 unit1第二课时
化学九年级下册全册同步 人教版 第25集 生活中常见的盐(二)
【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
第4章 幂函数、指数函数和对数函数(下)_六 指数方程和对数方程_4.7 简单的指数方程_第一课时(沪教版高一下册)_T1566237
精品·同步课程 历史 八年级 上册 第15集 近代科学技术与思想文化
《空中课堂》二年级下册 数学第一单元第1课时
七年级英语下册 上海牛津版 Unit3
北师大版数学四年级下册3.4包装
二年级下册数学第二课
每天日常投篮练习第一天森哥打卡上脚 Nike PG 2 如何调整运球跳投手感?
第12章 圆锥曲线_12.7 抛物线的标准方程_第一课时(特等奖)(沪教版高二下册)_T274713
《小学数学二年级下册》第二单元测试题讲解