连续统假设的否定三

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上传时间：2015-05-08
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连续统假设的否定三

连续统假设的否定（三）

一、摘要：本文用否定连续统假设某一个推论的方法来否定

连续统假设

二、关键词：（一）连续统假设（二）可测集（三）可测

函数（四）零测集（五）收敛（六）一致收敛

三、连续统假设的推论（4）（一）（简称推论（4））

存在一个实变数函数的无穷序列{fn(x)}（n为任意自然数），它在每一个不可数集上收敛，但不一致收敛。

下面我们证明推论（4）不成立。

四、证明过程

引理一、可测集E的任一子集都可测。

证：设集合E1为可测集E的任一子集，则集合E1及E-E1都是可测集，否则若其中之一，如E1不可测，则E=E1+(E- E1)也不可测，和E为可测集的假设矛盾，故E1及E-E1皆为可测集。

引理二、设函数列{fn(x)}(n为任意自然数)定义在可测集E上，则{fn(x)}皆为E上的可测函数。

证：根据假设，{fn(x)}(n为任意自然数)定义在可测集E上，则{fn(x)}在E的子集E（fn(x)>t）(n为任意自然数，t为任意实数)上也有定义，根据引理一，E的子集E（fn(x)>t）（t为任意实数）都是可测集，根据可测函数的定义，所有的{fn(x)}皆为E上的可测函数。

定理一、设E为任意一个不可数集，{fn(x)}（n为任意自然数）为定义在集合E上任意一个几乎处处收敛而且几乎

＇处处有限的实数序列，其极限函数f(x)也几乎处处有限，则

＇＇至少存在E的一个有界不可数子集E1{f(x)}在E＇δ，使1δ上一

致收敛于f(x)。

证：根据笔者所写的连续统假设的否定（一）一文中的引理一，E中存在凝聚点X，且X∈E，设E中所有凝聚点的集合为E1，根据该文的引理二，E1为不可数集，且为闭集，故E1为可测集[二]，下面分两种情况讨论：

（一）当E1无界时，取其有界的一段E＇1。

（二）当E1有界时，改E1为E＇1。

＇＇由于E1为E1的子集，根据引理一，E＇1可测，由于E1

是有界集合，故m E＇1<+∞，又根据假设，{fn(x)}为定义在E

上几乎处处收敛的实函数列，其极限函数为f(x)，故{fn(x)}

在E的子集E＇且在E＇1上也有定义，1上也几乎处处收敛于f(x)，

＇ {fn(x)}既定义在E＇根据引理二，{fn(x)}皆为E＇1上，1上的可测

函数，且其极限函数f(x)在E＇1上也可测[三]，又根据假设，

{fn(x)}及f(x)在E上几乎处处有限，则{fn(x)}及f(x)在E的子

＇＇集E1上也几乎处处有限，因此可测集E1及函数列{fn(x)}在＇ E1上满足叶古洛夫定理的条件，根据叶古洛夫定理，存在＇＇ E＇1的一个可测子集E1δ,使{fn(x)}在E1δ上一致收敛于极限函数

＇ f(x)，其中E＇1- E1δ为零测集。

＇＇＇＇最后还要证明E＇1δ为不可数集，由于E1=E1δ+( E1- E1δ)，

根据笔者所写的连续统假设的否定（一）一文中的引理二，可知E1为不可数集，又根据同文的引理三，可知 E1中全由

＇凝聚点组成的有界子集E＇也为不可数集，如果E＇11δ不为不可

数集，则E＇，于是E＇1δ为至多可数集（一）1也为至多可数集，

那就和前面所证出的结果矛盾，故E＇1δ为不可数集。

这样，对于任意一个不可数集E中任一个几乎处处收敛

的实函数列{fn(x)}，都至少存在E的一个有界不可数子集E＇1δ

＇（因E＇，使{fn(x)}在E＇1δ?E1?E）1δ上一致收敛于极限函数

＇ f(x),其中E＇1- E1δ为零测集。

于是连续统假设的推论（4）[一]被推翻。

＇四、连续统假设的否定

推论（4）是在连续统假设成立的假设下推导出来的，现在证出推论（4）不成立，说明连续统假设也不成立（因原命题和逆否命题等价），通常所说的连续统假设指的是狭义连续统假设，它是广义连续统假设的特殊情况，狭义连续统不成立，广义连续统假设就更不能成立。

到现在为止，否定连续统假设的工作已取得很大的成就。

注解（一）：现在假设a（可数集的势）和c（不可数集的势）之间没有中间势，即假设连续统假设成立，推论（4）是在连续统假设成立的假设下推导来的，现在根据同样的假

设，又证出推论（4）不成立，这就出现矛盾，此矛盾说明连续统假设不成立。

参考文献（一）：连续统假设（张锦文王雪生）合著出版地点：沈阳辽宁教育出版社

出版时间：1989年4月

参考文献（二）：实变函数及泛函分析基础程其襄等著出版地点：北京高等教育出版社

出版时间：1983年12月

参考文献（三）：实变函数论徐森林著

出版地点：合肥中国科学技术大学出版社

出版时间：2002年2月

作者：陈守仁河北大学数学系本科

六O届毕业生

退休前担任天津市家电五厂职工业校

数学教师

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