连续统假设的否定三
连续统假设的否定(三)
一、 摘要:本文用否定连续统假设某一个推论的方法来否定
连续统假设
二、 关键词:(一)连续统假设 (二)可测集 (三)可测
函数 (四)零测集 (五)收敛 (六)一致收敛
三、 连续统假设的推论(4)(一)(简称推论(4))
存在一个实变数函数的无穷序列{fn(x)}(n为任意自然数),它在每一个不可数集上收敛,但不一致收敛。
下面我们证明推论(4)不成立。
四、证明过程
引理一、可测集E的任一子集都可测。
证:设集合E1为可测集E的任一子集,则集合E1及E-E1都是可测集,否则若其中之一,如E1不可测,则E=E1+(E- E1)也不可测,和E为可测集的假设矛盾,故E1及E-E1皆为可测集。
引理二、设函数列{fn(x)}(n为任意自然数)定义在可测集E上,则{fn(x)}皆为E上的可测函数。
证:根据假设,{fn(x)}(n为任意自然数)定义在可测集E上,则{fn(x)}在E的子集E(fn(x)>t)(n为任意自然数,t为任意实数)上也有定义,根据引理一,E的子集E(fn(x)>t)(t为任意实数)都是可测集,根据可测函数的定义,所有的{fn(x)}皆为E上的可测函数。
定理一、设E为任意一个不可数集,{fn(x)}(n为任意自然数)为定义在集合E上任意一个几乎处处收敛而且几乎
' 处处有限的实数序列,其极限函数f(x)也几乎处处有限,则
' ' 至少存在E的一个有界不可数子集E1{f(x)}在E'δ,使1δ上一
致收敛于f(x)。
证:根据笔者所写的连续统假设的否定(一)一文中的引理一,E中存在凝聚点X,且X∈E,设E中所有凝聚点的集合为E1,根据该文的引理二,E1为不可数集,且为闭集,故E1为可测集[二],下面分两种情况讨论:
(一) 当E1无界时,取其有界的一段E'1。
(二) 当E1有界时,改E1为E'1。
' ' 由于E1为E1的子集,根据引理一,E'1可测,由于E1
是有界集合,故m E'1<+∞,又根据假设,{fn(x)}为定义在E
上几乎处处收敛的实函数列,其极限函数为f(x),故{fn(x)}
在E的子集E'且在E'1上也有定义,1上也几乎处处收敛于f(x),
' {fn(x)}既定义在E'根据引理二,{fn(x)}皆为E'1上,1上的可测
函数,且其极限函数f(x)在E'1上也可测[三],又根据假设,
{fn(x)}及f(x)在E上几乎处处有限,则{fn(x)}及f(x)在E的子
' ' 集E1上也几乎处处有限,因此可测集E1及函数列{fn(x)}在' E1上满足叶古洛夫定理的条件,根据叶古洛夫定理,存在 ' ' E'1的一个可测子集E1δ,使{fn(x)}在E1δ上一致收敛于极限函数
' f(x),其中E'1- E1δ为零测集。
' ' ' ' 最后还要证明E'1δ为不可数集,由于E1=E1δ+( E1- E1δ),
根据笔者所写的连续统假设的否定(一)一文中的引理二,可知E1为不可数集,又根据同文的引理三,可知 E1中全由
' 凝聚点组成的有界子集E'也为不可数集,如果E'11δ不为不可
数集,则E',于是E'1δ为至多可数集(一)1也为至多可数集,
那就和前面所证出的结果矛盾,故E'1δ为不可数集。
这样,对于任意一个不可数集E中任一个几乎处处收敛
的实函数列{fn(x)},都至少存在E的一个有界不可数子集E'1δ
' (因E',使{fn(x)}在E'1δ?E1?E)1δ上一致收敛于极限函数
' f(x),其中E'1- E1δ为零测集。
于是连续统假设的推论(4)[一]被推翻。
' 四、 连续统假设的否定
推论(4)是在连续统假设成立的假设下推导出来的, 现在证出推论(4)不成立,说明连续统假设也不成立(因原命题和逆否命题等价),通常所说的连续统假设指的是狭义连续统假设,它是广义连续统假设的特殊情况,狭义连续统不成立,广义连续统假设就更不能成立。
到现在为止,否定连续统假设的工作已取得很大的成就。
注解(一):现在假设a(可数集的势)和c(不可数集的势)之间没有中间势,即假设连续统假设成立,推论(4)是在连续统假设成立的假设下推导来的,现在根据同样的假
设,又证出推论(4)不成立,这就出现矛盾,此矛盾说明连续统假设不成立。
参考文献(一):连续统假设 (张锦文 王雪生)合著 出版地点:沈阳辽宁教育出版社
出版时间:1989年4月
参考文献(二):实变函数及泛函分析基础 程其襄等著 出版地点:北京高等教育出版社
出版时间:1983年12月
参考文献(三):实变函数论 徐森林著
出版地点:合肥中国科学技术大学出版社
出版时间:2002年2月
作者:陈守仁 河北大学数学系本科
六O届毕业生
退休前担任天津市家电五厂职工业校
数学教师
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