数学问题解答_

２０１５年　第５４卷　第３期　　　　　　　　数学通报

６３

数学问题解答

２０１５年２月号问题解答

（解答由问题提供人给出）

与ｙ＝２－的图像关２２２６　已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）

ｘ

于直线ｙ＝ｘ对称．数列｛满足ａａａｎ｝ｎ＋１＝ｆ（ｎ）（ｎ∈Ｎ＊）．

（若ａ求证：存在正整数ｎ使得当ｎ３，Ⅰ）１＝０，

ａ１１－

０＜ａ１＋＜１得ｎ＝

ａｎａ－１　１－１（）ａ１１－即有０＜＜１，

ｎａ１）－ａ　１－１（

ａ１ｎ－ａ０，　１－１＞（）

所以ｎ＞２＋．

ａ１１－ａ１ｎ－ａａ１，　１－１＞１－（）

，又因１＋＜所以ｍ＋１＜２＋＜ａ１＜

ｍｍ－１ａ１１－取ｐ＝ｍ＋２，即当ｎ≥ｐ时，恒有０＜ａｍ＋２，１ｎ＜成立．

｛

ｎａ≥０时有ａｎ＋１＞ｎ；

，（设１＋＜ａ其中ｍ为常数，Ⅱ）１＜

ｍ－１ｍ

求最小的正整数ｐ，使得当ｎ≥ｐｍ∈Ｎ＊且ｍ≠１．时，恒有０＜ａ１成立．ｎ＜

（四川省资阳市外国语实验学校　蔡勇全　）６４１３００

解　（因函数ｙ＝ｆ（与ｙ＝２－的图ｘ）Ⅰ）

ｘ

像关于直线ｙ＝ｘ对称，所以，对于函数ｙ＝ｆ（ｘ），图像上的任意点（点（在函数ｙ＝２－ｘ，ｘ）ｙ）ｙ，

，的图像上，即ｘ＝２－，故ｙ＝ｆ（ｘ）＝

ｘ２－ｘｙ因当设ａａ．ａ３时，ａ１＜１，ｎ＋１＝１＝２＝－ｋ＜

ａ２－ｎ则ａ所以当ｎ≥２时，又１，ａ１．＜１，ｋ＋１＝ｎ＜２－ａｋ

２２２７　在三角形ＡＢＣ中，Ｅ、Ｇ分别为ＡＢ和ＢＣ

的中点，除Ｃ点外）任一点，Ｄ为ＡＣ上（Ｆ为ＤＣ

四边形ＤＨＩＦ中点，求证≤．

５Ｓ△ＡＢＣ

（）江西师大鹰潭学院　王建荣　３３５０００证明　如图，设Ｓ△ＡＢＣ＝１连Ｂ＝ｘ，Ｄ交

ＤＣ

由梅氏定理可知

：ＡＧ于Ｍ，

ａ１ｎ－０ａ２且ａ１，所以取ａａ＞ｎ＜ｎ＋１－ｎ＝ｎ≠

２－ａｎ

，则当ｎ≥ｎ从而ａｎ２，ａ０＝０时有ａｎ＜１ｎ＋１－ｎ＝

２

ｎ０，ａ＞即ａｎ＋１＞ｎ．２－ａｎ

２

··＝１，

ＩＧＢＣＦＡ＝４ｘ＋２，＝

ＩＧＣＦ

Ｓ△ＡＢＳ△ＡＢＩＩ

，＝＝＝

ＡＧ４ｘ＋３Ｓ△ＡＢＧ２即　Ｓ△ＡＢ．Ｉ＝４ｘ＋３

得（由ａａ１＝－１＝Ⅱ）ｎ＋１＝ｎ＋１－

２－ａ２－ａｎｎ

ａ１，２－ａｎ－ｎ

取倒数得＝即＝－１，

２－ａａ１ａ１ａ１ｎｎ＋１－ｎ－ｎ－

是等差数列＝－（ｎ－１）＝ａ１ａ１ａ１ｎ－ｎ－１－

｝

··又由梅氏定理可知＝１和

ＭＢＡＥＨＤ··＝１，

ＭＢＧＣＡＤ可得　＝，

ＨＤ２ｘ

１１１－１－１－，所以ａ由．ｎ＝１＋

ａ１ａｎａ１）　１－１－１－（

６４

数学通报　　　　　　　　２０１５年　第５４卷　第３期

２２２２　　

＝＋

Ｓ

由　△ＡＢＤ＝＝，

Ｓ△ＡＢＣＡＤ＋ＤＣ１＋ｘ

Ｓ△ＡＤＥ＝△ＡＢＤ＝２２１＋ｘ）　（

１＋ｘ　１＋ｙ）（）（１＋１＋ｚ）ｙ　（）（

２２　

　＋

Ｓ△ＡＤＥ，故　＝＝＝Ｓ△ＡＤＨＨＤ２ｘＳ△ＡＤＨ

２

，Ｓ△ＡＤＨ＝１＋ｘ１＋３ｘ　（）（）

，同理可得　Ｓ△ＢＣＦ＝２１＋ｘ　（）

Ｓ四边形ＤＨＩＦ

因此　＝１－Ｓ△ＡＢＳ△ＡＤＨ－Ｓ△ＢＩ－ＣＦ

Ｓ△ＡＢＣ

１＋ｚ１＋ｘ）　（）（

２２２２２２２２

＝＋

１＋ｘ　１＋ｙ）（）（１＋１＋ｚ）ｙ　（）（

２２２２　＋

１＋ｚ１＋ｘ）　（）（

２２２２２２

＝＋

１＋ｘ　１＋ｙ）（）（１＋１＋ｚ）ｙ　（）（

２２２

　＋

－＝１－－

４ｘ＋３（１＋ｘ　１＋３ｘ）２１＋ｘ）　）（（

２

设ｆ（－ｘ）＝１－－ｘ＋３（１＋ｘ　１＋３ｘ）４）（

２

，ｘ≥０，１＋ｘ）２　（′（ｘ）＝　ｆ２－２

１＋ｘ　ｘ＋３２４　　（）（），－２２　

１＋３ｘ　１＋ｘ　（）（）

令ｆ解得ｘ＝，′（ｘ）＝０，

２

当ｘ＜时，当ｘ＞时，′（′（ｘ）ｘ）＞０；＜０；ｆｆ

２２因此　ｆｍａｆｘ＝

１＋ｚ１＋ｘ）　（）（

＝＋１＋ｘ　１＋１＋１＋ｚ）ｙ）（ｙ　（）（）（

　＋

１＋ｚ１＋ｘ）　（）（

（）＝１＋ｘ１＋ｙ１＋ｚ２２２（）＝

ｚ＋１＋ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｘｚｘ＋ｘｚｙ＋ｙｙ＝

１＋ｘ＋ｚ＋ｘｚｘ＋ｘｚｚ＋ｙ＋ｙ＋ｙｙ＝１，所以

＋１＋ｘ　１＋ｙ）（）（

＋

１＋１＋ｚ）ｙ　（）（

）

故四边形ＤＨＩＦ

＝，≤．２Ｓ△ＡＢＣ５５

＝１．

１＋ｚ１＋ｘ）　（）（

２２２

且ｘ２２２８　已知ｘ，ｚ＞０，＋ｙ＋ｚ＋２ｘｚ＝ｙ，ｙ

求证：１，

设Ｏ为△Ａ２２２９　如图，ＢＣ的外心，Ｇ，Ｄ分别为

两边ＡＢ，ＡＣ的中点，Ｅ为直线ＣＯ与线段ＧＤ的记△Ａ交点，Ｆ为直线ＤＯ与线段ＧＢ的交点，ＢＣ

＋

１＋ｘ　１＋ｙ）（）（

＋

１＋１＋ｚ）ｙ　（）（

＝１．

１＋ｚ１＋ｘ）　（）（（陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中

２２２证明　因为１＝ｘ所以＋ｚ＋２ｘｚ，ｙｙ＋２２２

ｚ＋２ｘｚ，　　　　１－ｘ－ｙ＝ｙ

２２２

ｚ＝ｘ＋２ｘｚ，　　　　１－ｙ－ｙ

的内角分别为Ａ，求证Ｂ，Ｃ

，＝＝．

ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ

）心　安振平　７１２０００

２２２

ｚ－ｘ＝ｘｚ，　　　　１－ｙ＋２ｙ

于是，有

　＋１＋ｚ１＋ｘ）　（）（

＋１＋ｘ　１＋ｙ）（）（１＋１＋ｚ）ｙ　（）（

（）河南省辉县市一中　贺基军　４５３６００

证明　如图，连接ＡＯ，ＦＣ．

由题设知，且ＦＦＤ为ＡＣ的垂直平分线，Ｄ平分

ＦＣ和∠ＡＯＣ，ＡＤ＝∠ＦＣＤ．∠Ａ∠Ｆ因　∠ＦＢＣ＝∠ＡＢＣ＝∠ＡＯＣ＝∠ＤＯＣ，

２

故Ｆ，Ｂ，Ｃ，Ｏ四点共圆，ＣＯ＝∠ＧＦＤ．∠Ｂ因ＧＤ∥ＢＣ，ＣＯ＝∠ＣＥＤ

，∠Ｂ

２２２　　　

ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＋２ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ＝１，　

ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ≤　知

８

（）３

２２２　　　

ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ≥６ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ　

）于是柯西不等式及（式，即得３

＋＋　

１＋ｃｏｓＡ１＋ｃｏｓＢ１＋ｃｏｓＣ　

２

（）

＝＋ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ　

２

（）＋

ｃｏｓＣｃｏｓＡ＋ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ　　

２

（）ｃｏｓＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ　　

２

ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＣｃｏｓＡ＋ｃｏｓＡｃｏｓＢ）÷≥（　　

故∠ＣＥＤ＝∠ＧＦＤ＝∠ＣＦＤ，

从而可知Ｅ，且ＦＦ，Ｃ，Ｄ四点共圆，Ｃ为该圆的直

径．

根据正弦定理得

（ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＣｃｏｓＡ＋ｃｏｓＡｃｏｓＢ＋　　３ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ）　ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＣｃｏｓＡ＋ｃｏｓＡｃｏｓＢ）÷≥（　　［（ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＣｃｏｓＡ＋ｃｏｓＡｃｏｓＢ）　　

２

ＦＣ＝＝＝．

ｓｉｎ∠ＣＦＤｓｉｎ∠ＤＣＥｓｉｎＣＥ∠Ｆ

因　∠ＣＦＤ＝９０°－∠ＦＣＤ＝９０°－∠ＦＡＤ，

ＣＥ＝９０°－∠ＤＯＣ＝９０°－∠ＡＢＣ，∠Ｄ

ＣＥ＝９０°－∠ＥＦＣ＝９０°－∠ＥＤＡ∠Ｆ

＝９０°－∠ＢＣＡ，又ｓｉｎ９０°－＝ｃｏｓ　α）α，（

（２２２　　

］ｃｏｓ　Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ）

２

２

（）＝２

（ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ）　＋

））从而由（式知欲证明（式，即证明４２

２２２　　　

ｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ　ｃ（ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＣｃｏｓＡ＋ｃｏｓＡｃｏｓＢ）－≥３　　２（）２

（ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ）　）而易知（式等价于５

２

２

２

２

２

（）４

故　＝＝．

ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ　

求证：２２３０　已知△ＡＢＣ为锐角三角形，

＋＋

ｃｏｓＢｃｏｓＣｃｏｓＣｃｏｓＡｃｏｓＡｃｏｓＢ　　

（）＋＋１

Ａ１＋ｃＢ１＋ｃＣ１＋ｃｏｓｏｓｏｓ　

（四川成都金牛西林巷１８号华鑫园Ａ６０１　

）宿晓阳　６１００３１≥３

（）５

（ｃｏｓ　Ａ＋ｃｏｓ　Ｂ＋ｃｏｓ　Ｃ）ｃｏｓ　Ａ＋ｃｏｓ　Ｂ＋　（

２　ｏｓＣ－ｃｏｓＢｃｏｓＣ－ｃｏｓＣｃｏｓＡ－ｃｏｓＡｃｏｓＢ）　ｃ　　≥０

２２２　　　ｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ－ｃｏｓＢｃｏｓＣ－ｃ

）

ｃｏｓＣｃｏｓＡ－ｃｏｓＡｃｏｓＢ≥０　　此式显然成立．于是（式成立，从而知（５）１）式成立．

）证明　易知（式等价于１

２２２　　　

ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ≥

２０１５年３月号问题

（——编者）来稿请注明出处—

３ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ　

２　

＋＋Ａ１＋ｃＢ１＋ｃＣ１＋ｃｏｓｏｓｏｓ　

２　

）

（）２

证明：２２３１　已知ｘ＞０，ｚ＞０且ｘｚ＝１，ｙ＞０，ｙ

ｎ－１ｎ－１ｎ－１　ｎ－１

２ｎ＋１ｎ－１２ｎ＋１＋２ｎ＋１ｎ－１ｎ－１２ｎ＋１　ｎ－１ｘ＋ｘ＋ｚｙ＋ｙｙｙｚ＋ｎ－１　ｎ－１

＋２１．ｎ＋１ｎ－１２ｎ＋１≤　ｎ－１ｚ＋ｚｘ＋ｘ（）江苏省常熟市中学　查正开　２１５５００

ｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣｃ

（ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＣｃｏｓＡ＋ｃｏｓＡｃｏｓＢ）－≥３　　＋＋　３

１＋ｃｏｓＡ１＋ｃｏｓＢ１＋ｃｏｓＣ　

又由三角形恒等式及三角形不等式：

２　

）

其外接圆上弧２２３２　已知△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２ＡＣ，

︵则直线ＣＭ与Ａ、ＢＡＣ的中点为Ｍ，Ｂ两点所在的两条切线共点或两两互相平行

．

小值．

（上海市宝山区宝林六村４２号１０１室　姜坤）崇　２０１９９９

内切

２２３４　已知ＲｔＢＣ的内切圆半径ｒ＝，△Ａ

１０

圆与直角边ＡＣ，ＢＣ及斜边ＡＢ的切点分别为Ｅ，经过线段ＭＥ和ＭＦ的中点作内切圆的弦Ｆ，Ｍ，

求证：且此圆的半径大ＰＱ，Ａ，Ｐ，Ｑ，Ｂ四点共圆，于１．

（）河南省辉县市一中　贺基军　４５３６００且ａ求证：２２３５　已知实数ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，ｂｃ＝１，

（）浙江台州市椒江中学　邬天泉　３１８０１５

２２３３　求函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋－ｘ－４ｘ＋５２２２２２２

（）＋＋１≥３．１＋ａ１＋ｂ１＋ｃ（）江西省都昌县第一中学高二（班　邵志强３

）３２６００　３

（上接第３２页）

单击变换菜单下的“标记比③选中度量值，

，）；将其和射线隐藏即可，如图（值”３将其选作缩放中心，选中多边形，④双击Ｐ，

单击变换菜单下的“缩放”命令，在缩放参数设置窗口中，选择标记比，点击缩放命令，移动Ｐ就′

，可观察到图形的缩放现象，如图４

，图５．

）图（５

通过缩放的方法，化静态为动态，图形连续缩放形成的众多画面变换，给学生在大脑中形成图形空间变化的印象．在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰富的几何经验背景，这有助于学生的理解和证明，在操作过程中也能充分发挥学生的主动性、积极性和探索欲．

）图（１

）

图（２

著名特级教师马明曾说过：不把教学做为“结进行，而做为“思维过程”来进行，这才是“数学果”

的本质．因此本节课提供一个开放的课堂，教学”

让学生自主与合作、通过直观感知与抽象概括验，证多边形外角和为３把数学的本质特征通过６０°形象具体的方式，让学生有所顿悟．本文教学设计

）图（３

）图（４

中，学生通过度量拼图等直观操作，提出猜想，提发现问题的能力；通过验证和说理两高提出问题，

种不同的思维形式来证明猜想结论的正确性，从而形成定理，感受数学思考过程的条理性；最后通使学生加深对知识的再认识，渗透数学思过总结，

想方法，培养科学的探究能力．

刊号２－５０１　　全年定价：７２．００元　　每期定价：６．００元　　全国各地邮局订购　　代号：ＣＮ１１－２２５４Ｏ１