第二届华杯赛复赛试题及答案
上传者:白师贤|上传时间:2015-05-09|密次下载
第二届华杯赛复赛试题及答案
第二届华杯赛复赛试题
1.计算:
(0.5+0.25+0.125)÷(0.5×0.25×0.125)×
2.有三张卡片,在它们上面各写有一个数字(下图)。从中抽出一张、二张、三张,按任意次序排起来,可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的素数都写出来。
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3.有大、中、小三个正方形水池,它们的内边长分别是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米?
4. 在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),如图。小明像玩跳棋那样,从A孔出发沿着逆时针方向,每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔。他先试着每 隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔。他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔。你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?
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5.试将1,2,3,4,5,6,7分别填入下图的方框中,每个数字只用一次:
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使得这三个数中任意两个都互质。其中一个三位数已填好,它是714。
6.下图是一张道路图,每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从A出发走到B,最快需要几分钟?
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7.梯形ABCD的中位线EF长15厘米(见图),∠ABC=∠AEF=90°,G是EF上的一点。如果三角形ABG的面积是梯形ABCD面积的1/5,那么EG的长是几厘米?
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8.有三堆砝码,第一堆中每个法码重3克,第二堆中每个砝码重5克,第三堆中每个砝码重7克。请你取最少个数的砝码,使它们的总重量为130克写出的取法:需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?
9.有5块圆形的花圃,它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米;请将这5块花圃分成两组,分别交给两个班管理,使两班所管理的面积尽可能接近。
10.一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是:1,2,3,5,8,13,21,34,55,问:这串数的前100个数中(包括第100个数)有多少个偶数?
11.王师傅驾车从甲地开乙地交货。如果他往返都以每小时60公里的速度行驶,正好可以按时返回甲地。可是,当到达乙地时、他发现他从甲地到乙地的速度只有每小时55公里,如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?
12.如图,大圈是400米跑道,由A 到B的跑道长是200米,直线距离是50米。父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼,儿于跑大圈,父亲每跑到B点便沿各直线跑。父亲每100米用20秒,儿子每100米用 19秒。如果他们按这样的速度跑,儿子在跑第几圈时,第一次与父亲再相遇?
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参考答案
1. 2.共有五个质数:2,3,13,23,31 3. 4.91个 5.(见下)
6.48分钟 7.6厘米 8.(见下) 9.(见下) 10.(见下) 11.66千米/小时
12.儿子在跑第3圈时,第一次与父亲再相遇
1.【解】原式= =()×2×4×8×
=(4+2+1)×2×4× =7×2×4×=7×=
2.【解】因为三张卡片上的数字和为6,能被3整除,所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除,因此不可能是质数
再看二张卡片的情形。因为1+2=3,根据同样的道理,用1.2,组成的二位数也能被3整除,因此也不是质数.这样剩下要讨论的二位数只有13、31、23、32这四个了,其中13,31和23都是质数,而32不是质数最后,一位数有三个:1,2,3。1不是质数,2和3都是质数所以,本题中的质数共有五个:2,3,13,23,31
答:共有五个质数:2,3,13,23,31。
3.【解】把碎石沉没在水中,水面升高所增加的体积.就等于所沉入的碎石的体积.因此,
3沉入在水池中的碎石的体积是:3×3×0.06=0.54(米),
3而沉入小水池中的碎石的体积是:2×2×0.04=0.16(米),
3这两堆碎石的体积一共是:0.54+0.16=0.7(米)
3把它们都沉入大水池里,大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米,
3而大水池的底面积是:6×6=36(米), 所以大水池的水面升高了:0.7÷36=(米)=(厘米)=(厘米) 答:大水池的水面升高了厘米。
4.【解】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号:A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号为2,3,4,?B孔的编号就是圆圈上的孔数,每隔2孔跳一步,跳在1,4,7,10,?上。最后跳到B孔,因此总孔数是3的倍数加1,同样道理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1;而每隔6孔跳一步最后跳回到A,就意味着总孔数是7的倍数。
如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数。这个15的倍数加上1就等于孔数,而且能被7整除。注意:15被7除余1,所以15×6被7除余6,15的6倍加1正好被7整除。我们还可以看出,15的其他(小于7的)倍数加1都不能被7整除,而15×7=105已经大于100.7以上的倍数都不必考虑,因此,圆圈上总孔数是15×6十1=91
答:圆圈上共有91个孔。
5.【解】714=2×3×7×17.
由此可以看出,要使最下面方框中的数与714互质,在剩下未填的数字2,3,5,6中只能选5,也就是说,第三行的一位数只能填5。
现在来讨论第二行的三个方框中应该怎样填2,3,6这三个数字。
因为任意两个偶数都有公约数2,而714是偶数,所以第二行的三位数不能是偶数,因此个位数字只能是3.这样一来,第二行的三位数只能是263或623.但是623能被7整除,所以623与714不互质.
最后来看263这个数通过检验可知:714的质因数2,3,7和17都不是263的因数,所以714与263这两个数互质,显然,263与5也互质.因此714,263和5这三个数两两互质。于是填法是:
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6.【解】为叙述方便,我们把每个路口都标上字母,如图a、图b所示
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首先我们将道路图逐步简化。
从A出发经过C到B的路线都要经过DC和GC。面从A到C有两条路线可走:ADC需时间14+13=27(分钟);AGC需时间15+11=26(分钟)。我们不会走前一条路线,所以可将DC这段路抹去。但要注意,AD不能抹去,因为从A到B还有别的路线(例如AHB)经过AD,需要进一步分析。
由G到E也有两条路线可走:CCE需16分钟,GIE也是16分钟。我们可以选择其中的任一条路线,例如选择前一条,抹掉GIE。(也可以选择后一条而抹掉CE。但不能抹掉GC,因为还有别的路线经过它。)这样,道路图被简化成图49的形状。
在图b中,从A到F有两条路线,经过H的一条需14+6+17=37(分钟),经过G的一条需15+11+10=36(分钟),我们又可以将前一条路线抹掉(图c)。
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图c中,从C到B也有两条路线,比较它们需要的时间,又可将经过E的一条路线抹掉。最后,剩下一条最省时间的路线(图d),它需要15+11+10+12=48(分钟)。
【又解】要抓住关键点C。从A到B的道路如果经过C点,那么,从A到C的道路中选一条最省时间的,即AGC;从C到B的道路中也选一条最省时间的,即CFB。因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的,即AGCFB。它的总时间是48分钟。 剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB,看那个更省时间。
不经过C点的道路只有两条:①ADHFB,它需要49分钟;②AGIEB,它也需要49分钟。 所以,从A到B最快需要48分钟。
答:最快需要48分钟。
7.【解】梯形ABCD的面积等于EF×AB,而三角彤ABG的面积等于EG×AB,因此三角形ABG和梯形ABCD的面积比等于EG与EF的比.由题目的条件,三角形ABG的面积是梯形ABCD的面积的,即EG是EF的.因为EF长15厘米,EG的长就是:15×=6(厘米). 答:EG长6厘米
8.【解】为了使问题简化,我们首先分析一下这三堆砝码之间的关系。很明显,一个3克的砝码加上一个7克的砝码正好等于两个5克的砝码(都是10克),因此,如果用一个3克的砝码和一个7克的砝码去替换两个5克的砝码,砝码的个数及总重量都保持不变.这样一来,我们就可以把5克砝码两个两个地换掉,直到只剩下一个5克的砝码或者没有5克砝码为止。 问题归结为下面两种情形:
(1)所取的砝码中没有5克砝码。很明显,为了使所取的砝码个数尽量少,应该尽可能少取3克砝码.而130克减去3克砝码的总重量应该是7克的倍数。计算一下就可以知道,取0个、1个、2个、3个、4个、5个3克砝码,所余下的重量都不是7克的倍数。如果取6个3克砝码,那么130克-3克×6=112克=7克×16。于是可以取16个7克砝码和6个3克砝码,总共22个砝码
(2)所取的砝码中有一个5克的。那么3克和7克砝码的总重量是130克-5克=125克.和第一种情形类似,可以算出应取2个3克砝码和17个7克砝码,这样总共有17+2+1=20个砝码
比较上面两种情形,我们得知最少要取20个砝码。取法可以就像后一种情形那样:2个3克的,1个5克的,17个7克的,当然也可以用两个5克砝码换掉一个3克和1个7克的砝码,例如可以取5个5克的和15个7克的.
9.【解】我们知道,每个圆的面积等于直径的平方乘以(π/4)。现在要把5个圆分组,两组的总面积要尽可能接近,或者说;两组总面积的比尽可能接近1.由于每个圆面积都有因子(π/ 4)。而我们关心的只是面积的比,所以可把这个共同的因子都去掉,使问题简化为:将5个圆公成两组,使两组圆的直径的平方和尽可能接近。
5个圆的直径的平方分别是9,16,25,64,81.
这5个数的和是195.由于195是奇数,所以不可能把这5个数分成两组,使它们的和相等.另一方面,81十16=97,9+25+64=98,二者仅相差1.
因此,应该把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理,其余三个花圃交给另一个班管理. 答:应该把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理,其余三个花圃交给另一个班管理。
10.【解】观察一下已经写出的数就会发现,每隔两个奇数就有一个偶数。这个规律是不难解释的:因为两个奇数的和是偶数,所以两个奇数后面一定是偶数。另一方面,一个奇数和一个偶数的和是奇数,所以偶数后面一个是奇数,再后面一个还是奇数。这样,一个偶数后面一定有连续两个奇数,而这两个奇数后面一定又是偶数,等等。
因此,偶数出现在第三、第六、第九?第九十九个位子上。所以偶数的个数等于100以内3的倍数的个数,即等于99÷3=33,于是,这串数的前100个数中共有33个偶数。 本题给出的这串数叫做“菲波那西数列”,又叫“兔子数列”。
答:这串数的前100个数中共有33个偶数。
11.【解】王师傅每两千米应行×2(小时),现来时每1千米行小时,
所以返回时每1千米应行:×2-=(小时)
即应以每小时66千米的速度往回开.
【又解】根据题意,如果王师傅往返都以每小时60公里的速度行驶,正好按时返回甲地.也就是说,按计划行驶1公里的时间是小时.而王师傅从甲地到乙地的实际行驶速度只有55公里/小时,这样一来、实际行驶1公里所花费的时间是小时,比计划多用小时,为了能按时返回甲地,王师傅从乙地返回甲地时,行驶1公里所花的时间必须比原计划
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