寓创新能力培养于几何定理教学之中_石鸿鹏

寓创新能力培养于几何定理教学之中_石鸿鹏

洛阳师范学院学报2001年第2期·119·

寓创新能力培养于几何定理教学之中

石鸿鹏1,韩瑞瑾2

(1.伊川县城关一中,河南伊川471300;2.洛阳第三师范学校,河南洛宁471700)

摘　要:平面几何的定理、公式、法则反映了几何概念的内在联系,揭示了它们之间的基本规律.探究定理教学的科学方法,不仅能使学生牢固地掌握这些知识,尤其有利于培养学生的逻辑思维和创新能力.

关键词:几何;定理;教学;创新

中图分类号:O123文献标识码:A

文章编号:1009-4970(2001)02-0119-03

　　∠CAB1=∠CPB1,∠CAB2=∠CPB2……为什么?观察∠CPBn随着∠CABn的变化的情况,猜想∠CAB=?是否与∠APC相等呢?进而让CA旋转观察得到∠CAB的三种情况.而后,转入证明的环节.在这个过程中,通过图形变化、圆周

角定理,创设出一种图形相关的问题情景,充分启迪学生思维,提高兴趣,产生猜想、发现的过程.

　　随着教育教学改革的深入,培养学生的创新能力已成为教学的重要课题.数学中的定理、公式、法则反映了数学概念间的内在联系,揭示了数学的基本规律.加强数学定理教学,是促进学生逻辑思维和能力形成与发展的根本,是正确、合理、迅速运算的基本保证.定理教学如何培养学生的创新能力呢?

1　创设问题情景,启迪思维飞跃

发现问题,提出问题是创新的开端.在定理的引入过程中,要联系学生的感性认识和具体问题,创设一种问题的氛围,启迪引导学生了解定理的来源,是怎样“想”出来的,怎样被人“发现”的,以培养学生的学习兴趣和探究问题的能力.例如在《弦切角定理》教学中,设计出了如下的问题情景,促使学生思维,大胆猜想结论.如图,圆周角∠CAB1的一边AB1绕着A旋转,观察∠CAB1的变化,当AB为⊙0的切线时,∠CAB具有什么特征?请给出弦切角定义,并提出弦切角∠CAB与园周角CPA的量值关系

?

2　重视一题多解,培养思维灵活性

定理的证明和推导过程都体现出重要的数学思想和典型的数学方法,因此探求定理的证明推导是提高学生数学思维方法和创新能力的有效途

径.教学中,对定理的证明推导,常采用一题多解的方法,寻求多种证明方法,从不同角度观察、分析,可以培养学生思维的灵活性.

例如:定理“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.”证明时,通过教师的启发,引导学生讨论,能够按照下列四种思路进行证明.

思路1:要证明图2中BC2AB只要延长BC到D,使CD=BC,连结AD,利用∠ABC ΔACD得到AB=AD证出ΔABD为等角三角形,则,定理得证.

思路2:如图3,取AB的中点D,连结CD,只要证明BD=BC或AD=BC即可,联系直角三

图1　《弦切角定理》教学附图

收稿日期:2000-12-11

作者简介:石鸿鹏(1962-),男,河南伊川人,一级教师.

角形斜边与斜边上的中线的等量关系,可得到

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BD=CD,从而ΔBCD为等边三角形,BC=BD=

.2

3　深刻理解定理,培养发散思维

创造性思维从思维的形态分,可分为发散思维和集中思维,发散思维是创造的关键,创新能力的培养,就需要从发散思维中提出各种假设、猜想、预测等,全方位实施.对定理形成之后就要深入理解定理,向纵深处探求,可适当引伸定理,通过对定理进行类比、联想,培养横向思维.

比如,在讲到比例和相似三角形以后,对三

图2　思路1教学附图

思路3:如图3,可在AB上截取BD,连结CD,且使BD=CD可证ΔCBD为等边三角形,ΔADC为等腰三角形,即得BC=DC=AD

.

角形面积Sah加以引伸,具有“同底”的两三

2

角面积之比等于该底上两条高的比,如图5,引伸为:

= =

SΔA′BCA′D′SΔA′BCA′D

图3　思路2、3教学附图

图5　同底三角形面积比引伸

思路4:如图4,可过B作∠B的平分线BD交AC于D,作DE⊥AB,垂足为E,然后证明ΔABD为等腰三角形,E为AB中点,ΔBCD ΔBED,问题得证

.

CC′

具有“同高”的两三角形面积之比等于对应的底边的比,如图6,引伸为:

= =

SΔACDCDSΔAB′C′B′C′

SΔABB′:SΔAB′C:SΔACC′=BB′:B′C:

图4　思路4教学附图

这里给出了四种不同的证明思路,涉及了几

何证题中的“加倍法”,“折半法”以及全等三角形,等边三角形,等腰三角形等知识的运用,让学生变换观察问题的角度,寻求新的证明思路,即巩固了原有知识,又培养了发散思维能力.

对于教材中有些定理的推导或证明难以向学生讲清楚,我从未放过认真仔细地研究,除了介绍教材上的思想方法外,还要从学生易理解、感兴趣的角度出发,研究出一种直观易懂的证法,

图6　“同高”三角形面积比引伸

这里对公式中的底,高分别加以限制,图形进行适当变化,引伸了定理,不仅加深了对定理的理解,更加灵活地运用公式解题,而且培养了发散思维.

使用类比,联想发现命题,沟通知识内在联系的事例,在数学上是很多的.例如“圆内接四边形对角互补”可从正方形、矩形、等腰梯形等“

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线段”的几个定理,在讲完“相交弦定理”、“切割线定理”、“割线定理”之后,向纵深处猜想,可以把这几个定理统称为“圆幂定理”,深刻揭示了定理的本质.

显然,由垂经定理,有下面的推理:OA经过圆心O

　 OA⊥BC　　

AB=AC

然后再倒回来考虑,若欲使A为BC中点,只需OA⊥BC,从而得到作法:

(1)连结OA(2)过点A作弦BC⊥OA,BC即为所求.同时画出图形.

作法正确性的证明,有下面的推理:

OA经过圆心O　　　 AB=AC

OA⊥BC　　　最后进一步讨论,A点与圆心O重合时的情形.

通过以上命题的分析、讨论,充分展现了对问题思维的全过程,并把分析法的数学方法贯彻于问题应用过程,对学生创造思维能力的开发起到了促进作用.

4　展现思维过程,突出数学思想方法

定理的应用突出体现在应用定理解题上,解题教学是培养创新能力的主要方法之一.教学中要把解题思路形成的过程,暴露、展现出来,使学生思维与教师思维产生共鸣,变传授过程为发现过程

.

图7　过圆内点A作弦,使A平分该弦附图

5　结束语

毫无疑问,上述4种定理教学的方法,对培养学生的思维能力和剖析能力有十分重要的作用　,但限于教学时数也不可滥用,即讲解的“定理”一定要精选.

例如,在“垂径定理”讲完后,对作图题,“经过己知⊙O内的己知点A作弦,使它以点A为中

点”进行讨论,首先进行逆向分析,如图7设弦BC就是所求作的弦,A为BC中点,若连结OA,你能得到什么结论?

CreativityEducationEmbeddedintheTeachingofGeometricalTheorem

SHIHong-peng1,HANRui-jin2

(1.No.1MiddleSchoolofYichuanCounty,Yichuan471300,China;

2.LuoyangNo.3teachersschool,Luoyang471700,China)

Abstract:Thetheorems,formulasandprinciplesinplanegeometryrevealtheintrinsicrelationsandbasiclawsofgeometricalconcepts.Itnotonlyenhancesstudents'masteryoftheknowledgetoresearchthescientificteachingmethodology,butalsohelpsdevelopstudents'abilityofcreationandlogicalthinking.Keywords:geometry;theorem;teaching;innovation