四点共圆的判定及其应用_刘合财

第8卷第1期

2013年3月

贵阳学院学报（自然科学版）（季刊）JOURNALOFGUIYANGCOLLEGE

NaturalSciences（Quarterly）

Vol．8No．1

Mar．2013

四点共圆的判定及其应用

刘合财

（贵阳学院数学与信息科学学院，贵州

贵阳550005）

摘要：主要讨论了四点共圆的判定问题，给出了几个判定定理，并相应地得出了证明四点共圆的几种证法，

最后给出了判定四点共圆的几个应用实例。关键词：四点共圆;凸四边形;反证法中图分类号：0181

文献标识码：A

文章编号：1673－6125(2013)01－0024－04

TheDiscriminationofFourPointsonaCircleandItsApplication

LiuHe-cai

（CollegeofMathematicsandInformationScience，GuiyangUniversity，GuizhouGuiyang550005）

Abstract：Inthispaper，theproblemhowtodiscriminatefourpointsonacircleismainlydiscussed，andseveraldis-criminatingtheoremsarepresented．Somemethodsofprovingfourpointsonacirclearecorrespondinglyobtained．Final-ly，asitsapplication，examplesaregiven．

Keywords：fourpointsonacircle；convexquadrangle；proofbycontradiction

1引言

四点共圆的几种证法，最后给出了其在求解诸如高考数学题目中的实际应用。

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称

。关于“四这四个点共圆，通常简称为“四点共圆”

，其基本性质已被大家熟知，如：圆弧所对点共圆”

的圆周角相等；圆内接四边形的对角互补；圆内接

等等。然而，在参加四边形的外角等于内对角，

2011年全国高考理科数学第21题的试卷评阅中，笔者发现不少考生甚至高中数学教师对四点共圆的判定似是而非，模棱两可，缺乏系统的、深入的研

［1］

究和认识。文中给出了几种常用的四点共圆的

［2］

证法，并举例说明。文得出了一种满足三个基

［3］

本条件的“四点共圆”的判定方法。文特别针对圆锥曲线讨论了关于四点共圆的几个定理。本

给出了几个判定文主要讨论四点共圆的判定问题，

定理并运用反证法等进行证明，相应地得出了证明

*收稿日期：2012－11－29

2四点共圆的判定定理

定理1若线段同侧两点到线段两端点连线

则这两点和线段的两端点四点共圆。夹角相等，

Q在Q同侧，证：如图1，已知点P、θ1=θ2≠0，

B、P、Q四点共圆。B、P可确定要证A、事实上，由A、

一个圆，下证Q点必在该圆上。反证法，假设Q点不

则点Q在该圆外部或内部。如果Q点在在该圆上，

该圆外部，如图2，则θ1=θ3＞θ2，这与θ1=θ2矛

故Q点不会在该圆外部。如果Q点在该圆内部，盾，如图3，则θ1=θ4＜θ2，这也与θ1=θ2矛盾，故Q

Q点必在该圆上，点不会在该圆内部。因此，即A、

B、P、Q四点共圆。

定理1也可表述为：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则这四个顶点共圆。

资助项目：贵阳学院教学团队建设项目（数学建模教学团队）

作者简介：刘合财（1976－），男，贵州绥阳人，贵阳学院数学与信息科学学院副教授，硕士。主要研究方向：函数论，应用概率统计。

—24—

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若凸四边形的对角互补，则该四边形

的四个顶点共圆。

证：如图4，已知在凸四边形ABCD中，∠A+

B、C、D四点共圆。∠C=180°，要证A、B、D可确定一个圆，事实上，由A、下证C点必

在该圆上。反证法，假设C点不在该圆上，则C点在如果C点在该圆外部，如图5，设该圆外部或内部。BC交该圆于C'，连接DC'，根据圆内接四边形的性

定理2

质，得∠A+∠DC'B=180°，又因∠A+∠C=

180°，从而∠DC'B=∠C，这与三角形外角定理矛盾，故C点不会在该圆外部。类似地，可证C点不会C点必在该圆上，因此，即A、在该圆内部（如图6）。B、C、D四点共圆。定理2也可表述为：凸四边形的一个外角等于

则该四个顶点共圆

。其内对角，

定理1和定理2均是根据四点所成角度的情况来

判定四点共圆，这是最常用、最基本的判定方法。此外，还可以根据四点所成线段长度的情况来进行

有以下判定定理：判定，

定理3（托勒密定理的逆定理）在凸四边形ABCD中，如果AC×BD=AB×CD+BC×AD，则A、B、C、D四点共圆。

如图7所示。

定理4（相交弦定理的逆定理）：若两条线段AC、BD相交于点E，且满足

AE×CE=BE×DE，B、C、D四点共圆。则A、如图8所示。定理4也可表述为：在凸四边形

ABCD中，AC、BD相交于点E，如果AE×CE=BE×DE，B、C、D四点共圆。则A、

定理5（割线定理的逆定理）：在凸四边形ABCD中，对边AB与CD的两延长线相交于点F，如B、C、D四点共圆。果FA×FB=FC×FD，则A、如图9所示

。

—25—

此外，如果已知条件已给出或者能方便求出四

也可以转化为角度或线段长度的情况个点的坐标，

判定四点共圆，并可以得出一般性的判定定理。

的直线l与C交半轴上的焦点，过F且斜率为－→→→

B两点，于A、点P满足OA+OB+OP=0。（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。

证：（Ⅰ）略，仅证（Ⅱ）。

Q的坐法一（采用证法1）由已知条件可得P、QP、Q三标P－，－1，，1。设过A、

22

22

点的圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0，由A、

3四点共圆的证法

根据四点共圆的定义及判定定理，可以得出四

点共圆的证明方法，主要证法有：3．1

定义法

证法1：先从四点中先选出三点作一个圆，再证第四点也在这个圆上。

证法2：任选两点，作中垂线，其余两点也作中垂线，若两中垂线的交点到四点距离相等，即可得该四点共圆。或作由四点连成的四边形的三条边中垂线，若交于一点，则该四点共圆。证法2的理论依据为：若四点到某一定点的距

则该四点共圆。离都相等，3．2

角度法

证法3：将四个点连成共底边的两个三角形，

且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，即可得该四点共圆。特别地，若能证明其两顶角均为直角，即可得该四点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。

证法3的理论依据为定理1。

证法4：将四个点连成凸四边形，若能证明其对角互补或其一个外角等于其邻补角的内对角，即可得该四点共圆。

证法4的理论依据为定理2。3．3

长度法

证法5：将四个点连成凸四边形，若能证明其两对角线长的乘积等于两组对边乘积之和，即可得该四点共圆。

证法5的理论依据为定理3。

证法6：将四个点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段长度之积

即可得该四点共圆。或把四点两两连结并延相等，

长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段长度之积等于自交点至另一线段

即可得该四点共两个端点所成的两线段长度之积，

圆。

证法6的理论依据为定理4及定理5。

()()

P、Q三点的坐标可解得该圆的方程为x2+y2+x

4－

1y4

－

32

=

0，经验证：B点坐标

+，(4

1－满足该圆方程。故A、P、B、Q

2

)

四点共圆。

法二（采用证法2）如图10，由已知条件可求Q两点的坐标分别为P－得P、，－1、

2

)

－1+、Q(B的坐标A(，1)；A、，242+1－；AB的中点M1。B(，，)(4242)

进而得PQ的垂直平分线l1的方程为：y=－x；

21

AB的垂直平分线l2的方程为：y=x+，l1与

421，l2的交点N－经计算可得|NA|=|，

88NP|=

3（也可用其它方法证明|NA|=|NP8

(

()

|，例如：证明N在PA的垂直平分线上）。从而，|NA|=|NP|=|NB|=|NQ|，P、B、Q四点共即A、|NA|为半径）。圆（圆心为N，

4应用实例

例1．（2011年全国高考理科数学第21题）已

y22

F为椭圆C：x+=1在y轴正知O为坐标原点，

2—26—

B、P、法三（采用证法4）由已知条件可求得A、

)

+1－、B(P(－，，－1)、422

→－3+，Q(PA=(3，1)。从而，，

242)→→+3－，PB=(3QA，

42→+－1，=(－QB，)42

→→=－+1．因此，cosPA=(，PB，－)42

Q

的

坐

标

－1+、A，

42

[

]

(

E、D、F四点共圆，法二：同法一，可得A、从

而，∠AEF=∠ADF。又ΔACD∽ΔADF，从而有∠ADF=∠C。因此，得∠AEF=∠C。根据定

C、E、F四点共圆。理2，得B、

法三：根据题意，得

AEADAFAD

==，从而ADABADAC

AE×AB=AF×AC=(AD)2，C、由定理5，得B、E、F四点共圆。

5结语

在证明四点共圆时，要根据命题的已知条件，并充分结合图形的特性，选择合适的证明方法，以达到事半功倍的效果。有些问题还可能采用多种证法证明，只不过是看哪一种证法可能更方便而已。本文对四点共圆问题给出了几个判定定理，并

最后给出相应地得出了证明四点共圆的几种证法，了判定四点共圆的几个应用实例。对于四点不共

可根据四点共圆性质的逆否命题来圆的判定问题，

判定。如：共圆的四点所构成的四边形必为一个凸若有四个点所构成的四边形不是凸四边形。因此，

四边形，则该四点必不共圆。

参考文献：

［1］J］．甘肃教育，1997（Z1）：71邓红卫．四点共圆的证法［

－72

［2］黄全福．判别“四点共圆”．数学通的一种新方法［J］

1995（1）：23－24报，

［3］崔宝法．圆锥曲线中关于四点共圆的几个结论［J］．数

2007（11）：33－35学通讯，

→→

PA·PB→→]=，cos[QA=，QB11|PA||PB|→→QA·QB=－11．|QA||QB|

→→→→]（0，），又因[PA，PB]，[QA，π所QB∈→→→→]=P、Bπ。故A、以，[PA，PB]+[QA，QB、Q四点共圆。

例2从ΔABC的顶点A到BC作垂线AD，从DAC作垂线DE、DF，F。求证：向AB、垂足为E、B、C、E、F四点共圆。

证：如图11，连接EF。

法一：由于∠AED=∠AFD=90°，得∠AED+∠AFD=180°，A、E、D、F四点共圆，因此，从∠AFE=∠ADE。又ΔABD∽ΔADE，从而有而，

∠ADE=∠B。因此，得∠AFE=∠B。根据定C、E、F四点共圆。理2，得B、

（上接第23页）

将x代入，有

F(x)=P(x)[fi(P(Q－x)，Q)－fi(x，P(Q－x))

=－fi(P(Q－x)，x)]





P(x)2[fi(Q－x，Q－x)－fi(x，Q－x)]根据（*）有fi(Q－x，Q－x)≤0，而fi(x，Q－x)≥0证明如下：fi(x，Q－x)=

==

∫∫∫

Ai

fi(x，z)

φi(x，z)

zdz－fi(x，x)

P(x)

φi(x，z)

zdzP(x)

Ai

[fi(x，z)－fi(x，x)]

Ai

φi(x，z)2

zdz≥0P(x)



因此，我们有F(x)≤0

当x不是不动点时，不等式严格成立。

参考文献：

［1］HofbauerJ．FromNashandBrowntoMaynardSmith：

Equilibria，DynamicsandESS*．Selection．2000．81－88．［2］YangH，XiaoXC．EssentialcomponentsofNashequilib-riaforgamensparametrizedbypayoffsandstrategies．

NonlinearAnalysis．2009．2322－2326．［3］BeckerRA，ChakrabartiSK．Satisficingbehavior，Brou-wer’sFixedPointTheoremandNashEquilibrium．Eco-nomicTheory．2005．63－83．［4］俞建．博弈论与非线性分析［J］．北京：科学出版社，

2008：81－83．［5］俞建．博弈论与非线性分析绪论［J］．北京：科学出版

2011：30－31．社，

［6］廖晓昕．稳定性的理论、J］．武汉：华中科方法和应用［

2010：7－107．技大学出版社，

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