中学数学竞赛讲座及练习第36讲 分式方程组的解法
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中学数学竞赛讲座及练习第36讲 分式方程组的解法
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第三十六讲 分式方程(组)的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．
例1 解方程
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解 令y=x2＋2x-8，那么原方程为
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去分母得
y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)
y2-4xy-45x2=0，
所以 y=9x或y=-5x．
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．
经检验，它们都是原方程的根．
例2 解方程
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y2-18y+72=0，
所以 y1=6或y2=12．
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x2-2x＋6=0．
此方程无实数根．
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x2-8x+12=0，
所以 x1．
经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．
例3 解方程
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分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为
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整理得
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去分母、整理得
x＋9=0，x=-9．
经检验知，x=-9是原方程的根．
例4 解方程
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分析与解 1，根据这一特点把每个分式化为
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即
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所以
((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．
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例5 解方程
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分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为
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整理得
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去分母得
x2＋9x-22＝0，
解得 x1=2x2=-11．
经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．
例6 解方程
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项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为 次
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所以
x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．
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例7 解方程
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本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考
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当x≠0时，解得x=±1．
经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．
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