中学数学竞赛讲座及练习第36讲 分式方程组的解法
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中学数学竞赛讲座及练习第36讲 分式方程组的解法
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第三十六讲 分式方程(组)的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解,转化的基本方法是去分母、换元,但也要灵活运用,注意方程的特点进行有效的变形.变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围,故必须验根.
例1 解方程
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解 令y=x2+2x-8,那么原方程为
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去分母得
y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)
y2-4xy-45x2=0,
所以 y=9x或y=-5x.
由y=9x得x2+2x-8=9x,即x2-7x-8=0,所以x1=-1,x2=8;由y=-5x,得x2+2x-8=-5x,即x2+7x-8=0,所以x3=-8,x4=1.
经检验,它们都是原方程的根.
例2 解方程
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y2-18y+72=0,
所以 y1=6或y2=12.
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x2-2x+6=0.
此方程无实数根.
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x2-8x+12=0,
所以 x1.
经检验,x1=2,x2=6是原方程的实数根.
例3 解方程
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分析与解 我们注意到:各分式的分子的次数不低于分母的次数,故可考虑先用多项式除法化简分式.原方程可变为
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整理得
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去分母、整理得
x+9=0,x=-9.
经检验知,x=-9是原方程的根.
例4 解方程
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分析与解 1,根据这一特点把每个分式化为
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即
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所以
((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3).
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例5 解方程
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分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1,故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式,用拆项相消进行化简.原方程变形为
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整理得
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去分母得
x2+9x-22=0,
解得 x1=2x2=-11.
经检验知,x1=2,x2=-11是原方程的根.
例6 解方程
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项与常数项符号相反,故可考虑用合比定理化简.原方程变形为 次
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所以
x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3.
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例7 解方程
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本题中分子与分母只是一次项的符号相反,故可考
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当x≠0时,解得x=±1.
经检验,x=±1是原方程的根,且x=0也是原方程的根.
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