中学数学竞赛讲座及练习第31讲 梯形
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中学数学竞赛讲座及练习第31讲 梯形
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第三十一讲 梯形
与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用．
例1 如图2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．
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分析 因为E，D是三角形ABC边ED∥BF．此外，还要证明
(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF． 证 因为E，D是△ABC的边AC的中点，所以
ED∥BF．
又已知DFECFD是平行四边形，所以
EC=DF． ①
又E是Rt△ABC斜边AB上的中点，所以
EC=EB． ②
由①，②
EB=DF．
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下面证明EB与DF不平行．
若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EBDF．
根据定义，EBFD是等腰梯形．
例2 如图2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．
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分析 由于△BCDCBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边Rt△ABC斜边上的中线也可BCD的度数．
解 过D作DE则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF
AF2+BF2=AB2，
即
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又
BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，
由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，
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从而∠EBD=30°(直角三角形中30)．在△CBD中，
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例3 如图2-45中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．
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分析 MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．
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证 连接DN．因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知
∠C=45°，
从而
∠NDC=45°．
在△NDC中，
∠DNC=90°(=∠DNB)，
所以ABND是矩形，所以
AF∥ND，∠F=∠ △BNF是一个含有锐角45．又
，
所以 AD=BF．
例4 如图2-46ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD，求△ABE的面积．
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分析 由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论)．取腰AB的中点F
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(或BC)．过
A引AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF与△BEF的高，所以
AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，
所以AG=8．这样S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求．
解 取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知
EF∥AD(或BC)，
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过A作AG⊥BC于G，交EFAH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△
AG2=AB2 =(AD+BC)2-(BC-AD)2
=102-62=82，
所以 AG=8，
从而 AH=GH=4，
所以
S△ABE=S△AEF+S△BEF
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