探究一道波罗的海数学奥林匹克竞赛试题_李宁

第12期李宁:探究一道波罗的海数学奥林匹克竞赛试题

·43·

探究一道波罗的海数学奥林匹克竞赛试题

●李

宁

(海南中学

海南海口571158)

2011年波罗的海数学奥林匹克竞赛中有如下一道不等式试题：

b，c，d是满足a+b+c+d=4的非负实数，题目设a，证明不等式：

abcd4

+3+3+3≤．3

a+8b+8c+8d+891

证法探究

“化曲为直”，这是一道常见类型的对称不等式题．由于已知条件是一次的，可以考虑用切线法证明．

x2（4－x3）2（x≥0），，f'（1）=，证法1设f（x）=3则f'（x）=3于是从而可求得f（x）在x=1处的

27x+8（x+8）2

2x+1

．而切线为y=27

x2x+1322

≤（x+8）（2x+1）－27x≥0（2x+5x+8）（x－1）≥0，3

27x+8

3

x2x+1

≤成立．于是

27x+8

abcd2a+12b+12c+12d+14

+++=．+++≤272727279a3+8b3+8c3+8d3+8

6x2（x3－16）x

注这类问题还可以考虑利用琴生不等式解决．不过此时f″（x）=则f（x）=3在33，（x+8）x+8［0，4］上并不是上凸函数，因此不能直接应用琴生不等式．这时想到了先利用均值不等式将分母降次．

3xxx

x3+8=（x3+1+1）+6≥3+6=3x+6，．设g（x）=证法2当x≥0时，则3≤

3x+6x+83x+6最后一式显然成立，从而（x≥0），则g″（x）=－

4

＜0，从而g（x）是上凸函数．于是由琴生不等式，得

3（x+2）3

a+b+c+d

abcd44

+++=，≤4·

3（a+b+c+d）93a+63b+63c+63d+6

+6

4

abcdabcd4

+3+3+3+++≤≤．3

a+8b+8c+8d+83a+63b+63c+63d+69

从而

注

abcd4

+++我们看到问题转化为证明≤，这也可由均值不等式获得．3a+63b+63c+63d+69

3xx

x3+8=（x3+1+1）+6≥3x+6=3x+6，证法3当x≥0时，则3≤于是

x+83x+6

abcdabcd

++++++．≤

a3+8b3+8c3+8d3+83a+63b+63c+63d+6下面只需证明即

而由均值不等式

1a+2

+≥2a+29

abcd4

+++≤，3a+63b+63c+63d+69

11114

+++≥．a+2b+2c+2d+23

2·=，a+293

·44·得同理可得

以上4个式子相加，得

中学教研(数学)2013年

14－a

，≥

a+29

14－b14－c14－d

≥，≥≥

b+29c+29d+29

14111

+++≥，a+2b+2c+2d+23

从而不等式得证．

1a+2

+注对应用均值不等式时，在第2项的分母配一个9，是为了让不等式的等号能够取到．a+29

结合均值不等式和琴生不等式还有如下证法．

证法4当x≥0时，由九元均值不等式，得

x3+1+1+1+1+1+1+1+1≥9x，

x1xx3

即x+8≥9x，从而3≤，故3≤x+89x+8922（xh（x）=x设≥0），则h″（x）=－4＜0，即h（x）是上凸函数，从而由琴生不等式，得

9x

1

1

2

1

a+b+c+d

a+b+c+d≤4

4

22222

2

()

2=4，

2

2

于是

注

abcdabcd4

+++++≤．≤+

9999a3+8b3+8c3+8d3+89

xx

在这里如果直接在分母中应用九元均值不等式，则3≤1，而x可能为0，于是我们设法去

x+89x2

xx≤．证明3

x+892题目探究

上面探究了该试题的4种证明方法，同时对其题目本身也可作一番探究．

x2x+1

在证法1的切线法中，我们知道当x≥0时3≤成立，因此不难将该试题推广到n个变元的

27x+8情形．

问题1

ai≥0（i=1，2，…，n），设3≤n∈N，则ΣΣai=n，

i=1n

n

n

ni=1

ain

≤．3

9ai+8

探究该试题的反向，得问题2证明

ain

．≥3

n3+8i=1i=1ai+8

aiai11

0，n］（i=1，2，…，n），，．于是由于ai∈［从而3≥3则3≥3

ai+8n+8ai+8n+8ai≥0（i=1，2，…，n），设3≤n∈N，则ΣΣai=n，

n

n

ai1n

a=，≥ΣΣi333

a+8n+8n+8i=1i=1i

当ai中有一个为n其余全为0时，等号成立．

“化曲为直”，注这里的证明思路依然是找一条直线来估计单项的下界．猜想问题2中不等式取得

x

x=n时不等式取到等号，等号的条件是ai中有一个为n其余全为0．在3≥px+q中，令x=0，联立

x+8

x

2个方程即求得p，q，余下只需证明3≥px+q成立．

x+8

稍微改变该试题的条件，可得如下变式：

第12期2013年总目次

·45·

b，c，d是满足a2+b2+c2+d2=4的非负实数，设a，则

bcda4+++．≤

9a3+8b3+8c3+8d3+8

证明当x≥0时，

xx2+223322

≤（x+2）（x+8）－27x≥0（x+2x+5x+16）（x－1）≥0．3

27x+8

xx2+2

后一式显然成立，于是3≤成立，从而

27x+8

问题3

abcda2+2b2+2c2+2d2+24

+3+3+3+++=．≤3

272727279a+8b+8c+8d+8

x2

注这里依然用到了待定系数法．设3≤px+q，左、右2边是2个函数，令它们在x=1处，函

x+8

q．数值相等且导数值也相等，联立2个方程即求得p，

有兴趣的读者可以探究问题3的另证及推广．

櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐

2013

●

特稿专递

年总目次

———提高高三数学复习效率的教学策略………………………………李金兴（1·5）方程思想与判别式法……………王剑明（3·9）●

教学研究

“暗”“明”……王苏文（1·9）由转

3个二次

二阶递推数列命题构造初探

……………………曹鸿德，沈新权（1·1）高中数学教材试验研究概述和分析

………………………………俞求是（3·1）“中国道路”（节选）数学教育的

………………………………张奠宙（5·1）功底

眼界

责任

兼容

———读《数学教育的“中国道路”》有感………………………………方均斌（5·3）一道不等式恒成立高考题的错解分析

………………………………罗增儒（9·1）●

名师论坛

………………………………邱林甫（4·1）自然数的等差分拆类型的探究

………………………………江一鸣（5·7）快乐教学

改善心育

领悟本质

———从“教书匠”“名教师”走向

………………………………马茂年（7·1）高三数学教师必须具备的专业素养

……………………………邸士荣（10·1）玩好题：数学教师的幸福与追求

……………………………蔡小雄（12·1）●

研讨会专栏

揭示数学本质

讲清数学道理

中学数学教学教育价值的几点思考

“视角”从不同视角探求一道课本习题中的

最值问题……………………韩庆文（1·11）学生在逻辑推理中的思维误区及矫正对策

………………………………陶增元（3·12）“生活”将融入课堂

让教学轻负高效

———提高初一数学教学实效的策略研究………………………………胡伟斌（3·14）“二度”开放式数学教学体验与反思

………………………………俞

昕（4·6）

巧用课堂中的典型错误提升课堂效率的若干策略

………………………………周立志（4·9）平面翻折寻常事

一问一变巧传情

———一道立体几何翻折问题的教学案例………………………………张美娟（7·7）“感知论证”如何培养学生的能力

———由学生“想不到”引起的反思与实践………………………………甘建飞（7·11）判别式为何失效了

———关于圆与圆锥曲线相切的问题………………………………朱对一道课本例题的深入挖掘……严

微（9·8）飞（9·11）