2015年高一下学期期末数学（文）试题及答案

江西省高安中学2014-2015学年度下学期期末考试

高一年级文科数学试题

一.选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.不等式 的解集为( )

A. B.

C. D.

2. 数列 的一个通项公式是(  )

A. B.

C. D.

3. 设 ,且 ,则( )

A. B. C. D.

4. 在等差数列 中， 是方程 的两根，则 等于 (  ).

A.12 B.14 C.-72 D.-74

5. 则 (  )

A. B. C. D.

6. 在等比数列中，a1=98，an=13，q=23，则项数n为(  )

A.3 B.4 C.5 D.6

7.已知不等式 >0的解集为 ，那么 =(  )

A.3 B. C.-1 D.1

8.若 ,则 (  )

A. B. C. D.

9. 在 中，角 、 的对边分别为 、 且 ， ，则 的值是( )

A. B. C. D.

10. 已知数列 的通项公式 ，设 的前 项积为 ，则使 成立的自然数 (  )

A.有最大值62 B.有最小值63 C.有最大值62 D.有最小值31

11.已知 ， ，且 ， ( )

A. B. C. D.

12.已知数列 满足 则 的前60项和为( )

A.3690 B.3660 C.1845 D.1830

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)

13.不等式 的解集为___________.

14.已知等差数列{an}的首项a1=20，公差d=-2，则前n项和Sn的最大值为________.

15.函数 = 的最小正周期是    .

16. 如图，从玩具飞机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯

角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约

等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分10分)当a为何值时,不等式 的解集是全体实数?

18.(本小题满分12分) 已知 ，求:

(1) 的最小值;(2) 的最小值.

19.( 本小题满分12分)已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 .

(1) 求 及 ;

(2) 求数列 的前 项和为 .

20.(本小题满分12分)已知 .

(1)求角 的大小;

(2)如果 ， ，求 的面积.

21. (本小题满分12分)已知函数 ,其中a∈R，

(1)当 时，求 在区间 上的最大值与最小值;

(2)若 ，求a，θ的值.

22.(本小题满分12分)设各项均为正数的等比数列 中，

(1)求数列 的通项公式;

(2)若 ，求证： ;

(3)是否存在正整数k，使得 对任意正整数n均成立?若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由.

江西省高安中学2014-2015学年度下学期期末考试

高一年级文科数学试答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

选项 A D D B A B B A B B C D

13 14. 110 15 .8 16.60

17若a=1，则原不等式为-1<0，恒成立;………….2分

.若a=-1，原不等式为2x-1<0，即x<12，不符合题目要求，舍去.………….4分

(2)当a2-1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集是全体实数的条件是a2-1<0，Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0，…………6分

解得-35

综上所述，当-35

18.解：(1)∵x>0，y>0，

∴xy=2x+8y≥216xy

即xy≥8xy，∴xy≥8，

即xy≥64. …………4分

当且仅当2x=8y

即x=16，y=4时，“=”成立.…………5分

∴xy的最小值为64…………6分

(2)∵x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，

∴2x+8y=xy，即2y+8x=1.

∴x+y=(x+y)•(2y+8x)=10+2xy+8yx≥10+22xy•8yx=18…………10分

当且仅当2xy=8yx，即x=2y=12时“=”成立.

∴x+y的最小值为18. …………12分

19. (1)解得 ， ，……….2分

所以 ;………….3分

.………….6分

(2)由(Ⅰ)可知， ，所以

所以

.……….12分

20.解：(1)因为 ，所以 ，… …………………3分

又因为 ，所以 ………………………5分

(2)因为 ， ，所以 …………6分

由正弦定理 ，得 ……………………………………7分

因为 ，所以 ……………………………………8分

解得 ，因为 ，所以 …………………… ………………10分

故△ABC的面积 …………………………………………12分

21.解：(1)当a=2，θ=π4时，

f(x)=sinx+π4+2cosx+π2=22sin x+cos x-2sin x=22 cos x-22 sin x=sin π4-x，……………….3分

因为x∈[0，π]，从而π4-x∈-3π4，π4，…………………4分

故f(x)在[0，π]上的最大值为22，最小值为-1………….6分

(2)由fπ2=0，fπ=1

得 cos θ1-2asin θ=0，2asin2 θ-sin θ-a=1. ………………7分.

又θ∈-π2，π2知cos θ≠0，

解得a=-1，θ=-π6.………….12分

22.解：(1)设数列{an}的公比为q(q>0)，

由题意有a1+a1q2=10a1q2+a1q4=40，

∴a1=q=2，∴an=2n，

∴bn=n. …………3分.

(2 )∵c1=1<3，cn+1-cn=n2n，…………4分.

当n≥2时，cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+…+(c2-c1)+c1=1+12+222+…+n-12n-1，

∴12cn=12+122+223+…+n-12n.

相减整理得：cn=1+1+12+…+12n-2-n-12n-1=3-n+12n-1<3 ，

故cn<3. …………7分.

(3)令f(n)=1bn+1+1bn+2+…+1bn+n

=1n+1+1n+2+…+12n

∵f(n+1)-f(n)=12n+1+12n+2- 1n+1

=12n+1-12n+2>0，

∴f(n+1)>f(n).

∴数列{f(n)}单调递增，

∴f(n)min=f(1)=12.

由不等式恒成立得：k10<12，

∴k<5.

故存在正整数k，使不等式恒成立，k的最大值为4…………12分.