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2015浙江省数学竞赛试题与答案

上传者:黄德中
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上传时间:2015-04-15
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2015浙江省数学竞赛试题与答案

2015年浙江省高中数学竞赛试卷

2015年浙江省高中数学竞赛试卷

说明:(1)本试卷分为A卷和B卷:A卷由本试卷的20题组成,即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题;B卷由本试卷的前18题组成,即8道选择题、7道填空题、3道解答题。

(2)考试不允许携带计算机或计算器。

一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6人,共48分)

2y21、“a=2,

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是“曲线C: 2 2 1(a,b R,ab 0)经过点

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1)”的 ab

( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m,m+1,m+2,则实数m的取值范围为( )

A.m>1

B.1<m<

2

C. <m<3

2

D.m>3

3、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BB1的中点,

则二面角M-CD1-A的余弦值为 ( )

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B.

内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看

a b 2 0

4、若实数a,b满足 b a 1 0,则的最大值为 ( )

a 1

A.1

B.

4

C.

5

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D.2

5、已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上,记△PQR,△ABC的面积

S PQR

分别为S△PQR,S△ABC,则的最小值为

S ABC

A.

( )

2

B.

3

C.

4

D.

5

6、已知数列{an}的通项an=

(x 1)(2x 1)

C.

(nx 1)

,n∈N*,若a1+a2+…+a2015<1,则实数x等于

( )

A.

2

B.

D.

7、若过点P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积

不可能等于 ( ) ...

A.

17

B.

5

C.

5

D.

53

8、若集合A={(m,n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015,m∈Z, n∈N*},则集合A的元素个数为( ) A.4030 B.4032 C.20152 D.20162

2015年浙江省高中数学竞赛试卷

二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,9~14题每题7分,15题8分,共50分)

9、已知函数f(x)满足 f(x+1)+f(1-x)=0,f(x+2)-f(2-x)=0,且f()=1,则f(

10、若数列{an}的前n项和Sn=n-n,n∈N*,则

32

2015i 1

= a 8i 2

i

11、已知F为抛物线y2=5x的焦点,点A(3,1),M是抛物线上的动点。当|MA|+|MF|取最小值时,

点M的坐标为 12、若16sin

2

x

16cosx 10,则

2

13、设函数f(x)=min{x2-1,x+1,-x+1},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者。若f(a+2)>f(a),

则实数a的取值范围为 14、已知向量a,b的夹角为,|a-b|=5,向量c-a,c-b的夹角为,|c-a

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,则a·c的

33

最大值为 15、设a,b∈Z,若对任意x≤0,都有(ax+2)(x2+2b)≤0,则

三、解答题(本大题共有3小题,16题16分,17、18题每题18分,共52分)

16、设a,b∈R,函数f(x)=ax2+b(x+1)-2.若对任意实数b,方程f(x)=x有两个相异的实根,

求实数a的取值范围。

2y2,右焦点为圆C: (x

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2+y2=7的圆心。 17、已知椭圆C1: 2 2 1(a b

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0)2

ab

(I)求椭圆C1的方程;

(II)若直线l与曲线C1,C2都只有一个公共点,记直线l与圆C2的公共点为A,求点A的坐标。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷

a a n

n 1bn

18、已知数列{an},{bn}满足a1>0,b1>0, ,n∈N*.证明:a50+b50>20

bn 1 bn n

四、附加题(本大题共有2小题,每题25分,共50分) 19、已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an

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n∈N*.

(I)证明:{an}是正整数数列;

(II)是否存在m∈N*,使得2015|am,并说明理由。

20、设k为正整数,称数字1~3k+1的排列x1,x2,…,x3k+1为“N型”的,如果这些数满足

(1)x1<x2<…<xk+1;(2)xk+1>xk+2>…>x2k+1;(3)x2k+1<x2k+2<…<x3k+1。 记dk为所有“N型”排列的个数。 (I)求d1,d2的值;

(II)证明:对任意正整数k,dk均为奇数。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共48分)

x2y2

1.“a =2,

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b 是“曲线C:2 2 1(a,b R,ab

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0)经过点

ab

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A.

”的( A ).

x2y2

解答:当a =2,

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b C:2 2

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1经过

ab

时,即有

x2y2

;当曲线C:2 2

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1经过点

ab

21

2

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1,显然a 2,b “a =2,

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b ”是“曲线C:2

ab

x2y2

2

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1经过点2ab

”的充分不必要条件。

2.已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为m,m 1,m 2,则实数m的取值范围为( B ). A. m 1 B. 1 m 答案:B.

解答:由题意可知:

A1

33

C. m 3 D.m 3 22

1

m (m 1) m 23

1 m 解得。 222

2 (m 2) m (m 1) m(m 1)

3. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点, 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C ). A.

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第3题图

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1

B. C.

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D

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2

答案:C.

解答:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则

1

D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,),且平面ACD1的法向量为n1 (1,1,1),平

2

2015年浙江省高中数学竞赛试卷

面MCD1法向量为n2 (

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1,2,2)。因此cos n1,n2

,即二面角M-CD1

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-A。

3

a b 2 0

a 2b

4.若实数a,b满足 b a 1 0,则的最大值为 ( C ).

2a b a 1

A. 1 B. 答案:C.

解答:由a,b满足的条件知1

57

C. D. 2 45

a 2bb

3,所以 2 a2a b

32 a

713

,当(a,b) (,)取等号。

225

5. 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上,记△PQR,△ABC的面积分别为S△PQR,S△ABC,则

S PQRS ABC

的最小值为( D ).

A.

1111 B. C. D. 2345

参考答案:D. 解答:如图5-1所示,

内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看

A

P H

B 图5-1 图5-2

(1)当 PQR的直角顶点在 ABC的斜边上,则P,C,Q,R四点共圆,

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