2015浙江省数学竞赛试题与答案
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2015浙江省数学竞赛试题与答案
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
说明:(1)本试卷分为A卷和B卷:A卷由本试卷的20题组成,即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题;B卷由本试卷的前18题组成,即8道选择题、7道填空题、3道解答题。
(2)考试不允许携带计算机或计算器。
一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6人,共48分)
2y21、“a=2,
内容需要下载文档才能查看是“曲线C: 2 2 1(a,b R,ab 0)经过点
内容需要下载文档才能查看1)”的 ab
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m,m+1,m+2,则实数m的取值范围为( )
A.m>1
B.1<m<
2
C. <m<3
2
D.m>3
3、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BB1的中点,
则二面角M-CD1-A的余弦值为 ( )
内容需要下载文档才能查看
B.
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看
a b 2 0
4、若实数a,b满足 b a 1 0,则的最大值为 ( )
a 1
A.1
B.
4
C.
5
内容需要下载文档才能查看
D.2
5、已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上,记△PQR,△ABC的面积
S PQR
分别为S△PQR,S△ABC,则的最小值为
S ABC
A.
( )
2
B.
3
C.
4
D.
5
6、已知数列{an}的通项an=
(x 1)(2x 1)
C.
(nx 1)
,n∈N*,若a1+a2+…+a2015<1,则实数x等于
( )
A.
2
B.
D.
7、若过点P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积
不可能等于 ( ) ...
A.
17
B.
5
C.
5
D.
53
8、若集合A={(m,n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015,m∈Z, n∈N*},则集合A的元素个数为( ) A.4030 B.4032 C.20152 D.20162
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,9~14题每题7分,15题8分,共50分)
9、已知函数f(x)满足 f(x+1)+f(1-x)=0,f(x+2)-f(2-x)=0,且f()=1,则f(
10、若数列{an}的前n项和Sn=n-n,n∈N*,则
32
2015i 1
= a 8i 2
i
11、已知F为抛物线y2=5x的焦点,点A(3,1),M是抛物线上的动点。当|MA|+|MF|取最小值时,
点M的坐标为 12、若16sin
2
x
16cosx 10,则
2
13、设函数f(x)=min{x2-1,x+1,-x+1},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者。若f(a+2)>f(a),
则实数a的取值范围为 14、已知向量a,b的夹角为,|a-b|=5,向量c-a,c-b的夹角为,|c-a
内容需要下载文档才能查看,则a·c的
33
最大值为 15、设a,b∈Z,若对任意x≤0,都有(ax+2)(x2+2b)≤0,则
三、解答题(本大题共有3小题,16题16分,17、18题每题18分,共52分)
16、设a,b∈R,函数f(x)=ax2+b(x+1)-2.若对任意实数b,方程f(x)=x有两个相异的实根,
求实数a的取值范围。
2y2,右焦点为圆C: (x
内容需要下载文档才能查看2+y2=7的圆心。 17、已知椭圆C1: 2 2 1(a b
内容需要下载文档才能查看0)2
ab
(I)求椭圆C1的方程;
(II)若直线l与曲线C1,C2都只有一个公共点,记直线l与圆C2的公共点为A,求点A的坐标。
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
a a n
n 1bn
18、已知数列{an},{bn}满足a1>0,b1>0, ,n∈N*.证明:a50+b50>20
bn 1 bn n
四、附加题(本大题共有2小题,每题25分,共50分) 19、已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an
内容需要下载文档才能查看n∈N*.
(I)证明:{an}是正整数数列;
(II)是否存在m∈N*,使得2015|am,并说明理由。
20、设k为正整数,称数字1~3k+1的排列x1,x2,…,x3k+1为“N型”的,如果这些数满足
(1)x1<x2<…<xk+1;(2)xk+1>xk+2>…>x2k+1;(3)x2k+1<x2k+2<…<x3k+1。 记dk为所有“N型”排列的个数。 (I)求d1,d2的值;
(II)证明:对任意正整数k,dk均为奇数。
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共48分)
x2y2
1.“a =2,
内容需要下载文档才能查看b 是“曲线C:2 2 1(a,b R,ab
内容需要下载文档才能查看0)经过点
ab
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A.
”的( A ).
x2y2
解答:当a =2,
内容需要下载文档才能查看b C:2 2
内容需要下载文档才能查看1经过
ab
时,即有
x2y2
;当曲线C:2 2
内容需要下载文档才能查看1经过点
ab
21
2
内容需要下载文档才能查看1,显然a 2,b “a =2,
内容需要下载文档才能查看b ”是“曲线C:2
ab
x2y2
2
内容需要下载文档才能查看1经过点2ab
”的充分不必要条件。
2.已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为m,m 1,m 2,则实数m的取值范围为( B ). A. m 1 B. 1 m 答案:B.
解答:由题意可知:
A1
33
C. m 3 D.m 3 22
1
m (m 1) m 23
1 m 解得。 222
2 (m 2) m (m 1) m(m 1)
3. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点, 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C ). A.
内容需要下载文档才能查看
第3题图
内容需要下载文档才能查看1
B. C.
内容需要下载文档才能查看D
内容需要下载文档才能查看2
答案:C.
解答:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则
1
D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,),且平面ACD1的法向量为n1 (1,1,1),平
2
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
面MCD1法向量为n2 (
内容需要下载文档才能查看1,2,2)。因此cos n1,n2
,即二面角M-CD1
内容需要下载文档才能查看-A。
3
a b 2 0
a 2b
4.若实数a,b满足 b a 1 0,则的最大值为 ( C ).
2a b a 1
A. 1 B. 答案:C.
解答:由a,b满足的条件知1
57
C. D. 2 45
a 2bb
3,所以 2 a2a b
32 a
713
,当(a,b) (,)取等号。
225
5. 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上,记△PQR,△ABC的面积分别为S△PQR,S△ABC,则
S PQRS ABC
的最小值为( D ).
A.
1111 B. C. D. 2345
参考答案:D. 解答:如图5-1所示,
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看A
P H
B 图5-1 图5-2
(1)当 PQR的直角顶点在 ABC的斜边上,则P,C,Q,R四点共圆,
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