高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——梅涅劳斯定理
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高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——梅涅劳斯定理
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梅涅劳斯定理:
定理1:若直线l不经过?ABC的顶点,并且与?ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长
BPCQAR线分别交于P、Q、R,则???1PCQARB
证:设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线l的垂
BPCQARhBhChA??????1PCQARBhChAhB
注:此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件;
例1:若直角?ABC中,CK是斜边上的高,CE是?ACK的平
分线,E点在AK上,D是AC的中点,F是DE与CK的交点,
证明:BF//CE。证:在?EBC中,作?B的平分线BH则:?EBC??ACK
?HBC??ACE,?HBC??HCB??ACE??HCB?90?
即:BH?CE??EBC为等腰三角形作BC上的高EP,则:CK?EP
CDAEKF对于?ACK和三点D、E、F???1 DAEKFC
KFEKCKEPBPBKKFBK于是=????=FCAEACACBCBEFCBE
KFBK=??FKB??CKE?BF//CEKCKE
定理2:设P、Q、R分别是?ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的三点,并且P、Q、R三点中,位于?ABC边上的点的个数为
0或2,这时若BPCQAR???1,PCQARB
求证:P、Q、R三点共线;
证:设直线PQ与直线AB交于R',于是由定理1得:
BPCQAR'
??'?1又PCQARBBPCQARAR'AR???1'=PCQARBRBRB
由于在同一直线上的P、Q、R'三点中,位于?ABC边上的点的个数也为0或2,
因此R与R'或者同在AB线段上,或者同在AB的延长线上;
若R与R'同在AB线段上,则R与R'必定重合,不然的话,设AR?AR',
ARAR'ARAR'
''这时AB?AR?AB?AR,即BR?BR,于是可得?这与='矛盾'BRBRBRBR
类似地可证得当R与R'同在AB的延长线上时,R与R'也重合
综上可得:P、Q、R三点共线;
注:此定理常用于证明三点共线的问题,且常需要多次使用 再相乘;
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例2.点P位于?ABC的外接圆上;A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足,证明点A1、B1、C1共线;
BABP?cos?PBC
1??,
CA1CP?cos?PCBCB1CP?cos?PCA??,AB1AP?cos?PAC将上面三条式子相乘,且
AC1AP?cos?PAB
??BC1PB?cos?PBA
内容需要下载文档才能查看?PAC??PBC,?PAB??PCB,?PCA??PBA?BACBAC1
可得1?1?1,依梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线;
CA1AB1BC1
【练习】从点1K引四条直线,另两条直线分别交这四条直线于A、B、C、D
ADACADAC
和A1、B1、C1、D1:?11:11
BCBDB1C1B1D1
【练习2】设不等腰?ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F,则EF与BC,FD与CA,DE与AB 的交点X、Y、Z在同一条直线上;
【练习3】已知直线AA1,BB1,CC1相交于O,直线AB和
A1B1的交点为C2,直线BC与B1C1的交点是A2,直
线AC与A1C1的交点是B2,试证:A2、B2、C2三点共线;
【练习4】在一条直线上取点E、C、A,在另一条上取点B、F、D,记直线AB和ED,CD和AF,CD和AF,EF和BC的交点依次为L、M、N,证明:L、M、N共线
练习1的证明
证:若AD//A1D1,结论显然成立;
若AD与A1D1相交与点L,则把梅涅劳斯定理分别用于?A1AL和?B1BL可得:ADLD1A1KLCAKA1C1BCLC1B1K
???1???1???1LDA1D1AKACA1KLC1LCB1C1BKLDBKB1D1
???1BDB1KLD1
ADBCA1C1B1D1
????1
ACBDA1D1B1C1ACADA1C1A1D1:?:
BCBDB1C1B1D1
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练习2的证明
BXCEAF证:?ABC被直线XFE所截,由定理1???1XCEAFB
BXFB又AE?AF=XCCE CYDCAZEA==YAAFZBBD
BXCYAZ???1XCYAZB
又X、Y、Z都不在?ABC的边上,由定理2可得X、Y、Z三点共线练习3的证明
证:设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1,AC和A1C1,AB和A1B1的交点,
对所得的三角形和在它们边上的点:OAB和(A1,B1,C2),OBC和(B1,
C1,A2),OAC和(A1,C1,B2)应用梅涅劳斯定理有:AA1OB1BC2OC1BB1CA2OA1CC1AB2???1???1???1OA1BB1AC2CC1OB1BA2AA1OC1CB2
BCAB2CA22???1AC2CB2BA2
由梅涅劳斯定理可知A2,B2,C2共线练习4的证明
证:记直线EF和CD,EF和AB,AB和CD的交点分别为U、V、W,对?UVW,应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,D,E),(A,M,F),(B,C,N),(A,C,E),(B,D,F),则有UEVLWDVAUFWMUNWCVB???1???1???1VEWLUDWAVFYMVNUCWB
WAUCVEWBUDVF???1???1VAWCUEVBWDUF
VLWMUN???1,?点L,M,N共线WLUMVN
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