教育资源为主的文档平台

当前位置: 查字典文档网> 所有文档分类> 高中教育> 学科竞赛> 高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——梅涅劳斯定理

高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——梅涅劳斯定理

内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看

梅涅劳斯定理:

定理1:若直线l不经过?ABC的顶点,并且与?ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长

BPCQAR线分别交于P、Q、R,则???1PCQARB

证:设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线l的垂

BPCQARhBhChA??????1PCQARBhChAhB

注:此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件;

例1:若直角?ABC中,CK是斜边上的高,CE是?ACK的平

分线,E点在AK上,D是AC的中点,F是DE与CK的交点,

证明:BF//CE。证:在?EBC中,作?B的平分线BH则:?EBC??ACK

?HBC??ACE,?HBC??HCB??ACE??HCB?90?

即:BH?CE??EBC为等腰三角形作BC上的高EP,则:CK?EP

CDAEKF对于?ACK和三点D、E、F???1 DAEKFC

KFEKCKEPBPBKKFBK于是=????=FCAEACACBCBEFCBE

KFBK=??FKB??CKE?BF//CEKCKE

定理2:设P、Q、R分别是?ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的三点,并且P、Q、R三点中,位于?ABC边上的点的个数为

0或2,这时若BPCQAR???1,PCQARB

求证:P、Q、R三点共线;

证:设直线PQ与直线AB交于R',于是由定理1得:

BPCQAR'

??'?1又PCQARBBPCQARAR'AR???1'=PCQARBRBRB

由于在同一直线上的P、Q、R'三点中,位于?ABC边上的点的个数也为0或2,

因此R与R'或者同在AB线段上,或者同在AB的延长线上;

若R与R'同在AB线段上,则R与R'必定重合,不然的话,设AR?AR',

ARAR'ARAR'

''这时AB?AR?AB?AR,即BR?BR,于是可得?这与='矛盾'BRBRBRBR

类似地可证得当R与R'同在AB的延长线上时,R与R'也重合

综上可得:P、Q、R三点共线;

注:此定理常用于证明三点共线的问题,且常需要多次使用 再相乘;

内容需要下载文档才能查看

例2.点P位于?ABC的外接圆上;A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足,证明点A1、B1、C1共线;

BABP?cos?PBC

1??,

CA1CP?cos?PCBCB1CP?cos?PCA??,AB1AP?cos?PAC将上面三条式子相乘,且

AC1AP?cos?PAB

??BC1PB?cos?PBA

内容需要下载文档才能查看

?PAC??PBC,?PAB??PCB,?PCA??PBA?BACBAC1

可得1?1?1,依梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线;

CA1AB1BC1

【练习】从点1K引四条直线,另两条直线分别交这四条直线于A、B、C、D

ADACADAC

和A1、B1、C1、D1:?11:11

BCBDB1C1B1D1

【练习2】设不等腰?ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F,则EF与BC,FD与CA,DE与AB 的交点X、Y、Z在同一条直线上;

【练习3】已知直线AA1,BB1,CC1相交于O,直线AB和

A1B1的交点为C2,直线BC与B1C1的交点是A2,直

线AC与A1C1的交点是B2,试证:A2、B2、C2三点共线;

【练习4】在一条直线上取点E、C、A,在另一条上取点B、F、D,记直线AB和ED,CD和AF,CD和AF,EF和BC的交点依次为L、M、N,证明:L、M、N共线

练习1的证明

证:若AD//A1D1,结论显然成立;

若AD与A1D1相交与点L,则把梅涅劳斯定理分别用于?A1AL和?B1BL可得:ADLD1A1KLCAKA1C1BCLC1B1K

???1???1???1LDA1D1AKACA1KLC1LCB1C1BKLDBKB1D1

???1BDB1KLD1

ADBCA1C1B1D1

????1

ACBDA1D1B1C1ACADA1C1A1D1:?:

BCBDB1C1B1D1

内容需要下载文档才能查看

练习2的证明

BXCEAF证:?ABC被直线XFE所截,由定理1???1XCEAFB

BXFB又AE?AF=XCCE CYDCAZEA==YAAFZBBD

BXCYAZ???1XCYAZB

又X、Y、Z都不在?ABC的边上,由定理2可得X、Y、Z三点共线练习3的证明

证:设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1,AC和A1C1,AB和A1B1的交点,

对所得的三角形和在它们边上的点:OAB和(A1,B1,C2),OBC和(B1,

C1,A2),OAC和(A1,C1,B2)应用梅涅劳斯定理有:AA1OB1BC2OC1BB1CA2OA1CC1AB2???1???1???1OA1BB1AC2CC1OB1BA2AA1OC1CB2

BCAB2CA22???1AC2CB2BA2

由梅涅劳斯定理可知A2,B2,C2共线练习4的证明

证:记直线EF和CD,EF和AB,AB和CD的交点分别为U、V、W,对?UVW,应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,D,E),(A,M,F),(B,C,N),(A,C,E),(B,D,F),则有UEVLWDVAUFWMUNWCVB???1???1???1VEWLUDWAVFYMVNUCWB

WAUCVEWBUDVF???1???1VAWCUEVBWDUF

VLWMUN???1,?点L,M,N共线WLUMVN

版权声明:此文档由查字典文档网用户提供,如用于商业用途请与作者联系,查字典文档网保持最终解释权!

下载文档

热门试卷

2016年四川省内江市中考化学试卷
广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
山东省滨州市三校2017届第一学期阶段测试初三英语试题
四川省成都七中2017届高三一诊模拟考试文科综合试卷
2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(附答案)
重庆市永川中学高2017级上期12月月考语文试题
江西宜春三中2017届高三第一学期第二次月考文科综合试题
内蒙古赤峰二中2017届高三上学期第三次月考英语试题
2017年六年级(上)数学期末考试卷
2017人教版小学英语三年级上期末笔试题
江苏省常州西藏民族中学2016-2017学年九年级思想品德第一学期第二次阶段测试试卷
重庆市九龙坡区七校2016-2017学年上期八年级素质测查(二)语文学科试题卷
江苏省无锡市钱桥中学2016年12月八年级语文阶段性测试卷
江苏省无锡市钱桥中学2016-2017学年七年级英语12月阶段检测试卷
山东省邹城市第八中学2016-2017学年八年级12月物理第4章试题(无答案)
【人教版】河北省2015-2016学年度九年级上期末语文试题卷(附答案)
四川省简阳市阳安中学2016年12月高二月考英语试卷
四川省成都龙泉中学高三上学期2016年12月月考试题文科综合能力测试
安徽省滁州中学2016—2017学年度第一学期12月月考​高三英语试卷
山东省武城县第二中学2016.12高一年级上学期第二次月考历史试题(必修一第四、五单元)
福建省四地六校联考2016-2017学年上学期第三次月考高三化学试卷
甘肃省武威第二十三中学2016—2017学年度八年级第一学期12月月考生物试卷

网友关注

2-甲基-2-戊烯醛的生产工艺及市场研究报告
【贵金属行情】麦格理银行:相比其他商品,黄金兑美元非常稳定
【贵金属行情】伦铜跌0.28%,美联储利率决议前交投谨慎
【贵金属行情】黄金会否继续下挫看Fed何时升息
预测四十年后的中国与世界
【贵金属交易】黄金净多头降至2013年低位,分析师称空头回补现象将扩大
涨价潮中降低投资移民门槛 西班牙要当移民强国?
【贵金属交易】昨日录得连续第七日收涨
(简体)金融期货发展现状与未来展望
【贵金属交易】原油期货小幅下跌,因EIA原油库存料连增第11周
【贵金属交易】德国商业银行:希腊不确定性应当改善黄金避险魅力
【贵金属交易】昨日为连续第五日收阳,依托20日均线继续反弹
现货白银投资技术均线的特殊使用技巧
期货分析技术指标
期权上市对期货公司的影响
浅谈期货投资技巧
【贵金属交易】也门局势一夜突变,简析原油市场关心的“七问”
【贵金属交易】汇丰:美国近期经济数据疲软利好金市,GDP数据还会这样吗
期货经典电子书
【贵金属交易】金价2月份下跌5.25%,新兴市场却仅有三国购买黄金储备
期货宝典
2015期货从业资格考试《期货基础知识》知识点:中国期货业协会
【贵金属交易】钯金ETFs持仓上周减少5万盎司,创七个月最大单周减持规模
【贵金属交易】连涨六日至三周高位1197,FED推迟加息的预期打压美元
【贵金属交易】预测神器六年首现,黄金长线做多良机来了
现货交易心得[精品]
东莞长安代办营业执照[金账本]其他具体行政行为
【贵金属交易】金价连涨七日后小跌,周线有望再度上涨
【贵金属交易】特里兰贵金属:金市注意力由FED首次加息时间点转向加息速度
【贵金属交易】美国NYMEX原油跌1.44%,关注美国房屋数据

网友关注视频

外研版英语七年级下册module3 unit2第二课时
外研版英语三起6年级下册(14版)Module3 Unit2
《空中课堂》二年级下册 数学第一单元第1课时
北师大版数学四年级下册3.4包装
沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 3
【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的整理与复习》
【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,辽宁省
人教版历史八年级下册第一课《中华人民共和国成立》
外研版英语三起5年级下册(14版)Module3 Unit2
沪教版八年级下册数学练习册21.3(3)分式方程P17
沪教版牛津小学英语(深圳用) 六年级下册 Unit 7
精品·同步课程 历史 八年级 上册 第15集 近代科学技术与思想文化
沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 2
8.练习八_第一课时(特等奖)(苏教版三年级上册)_T142692
3.2 数学二年级下册第二单元 表内除法(一)整理和复习 李菲菲
冀教版英语三年级下册第二课
二次函数求实际问题中的最值_第一课时(特等奖)(冀教版九年级下册)_T144339
每天日常投篮练习第一天森哥打卡上脚 Nike PG 2 如何调整运球跳投手感?
青岛版教材五年级下册第四单元(走进军营——方向与位置)用数对确定位置(一等奖)
冀教版小学数学二年级下册第二单元《租船问题》
沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 4
化学九年级下册全册同步 人教版 第22集 酸和碱的中和反应(一)
北师大版八年级物理下册 第六章 常见的光学仪器(二)探究凸透镜成像的规律
【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
七年级英语下册 上海牛津版 Unit5
第4章 幂函数、指数函数和对数函数(下)_六 指数方程和对数方程_4.7 简单的指数方程_第一课时(沪教版高一下册)_T1566237
沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 7
第8课 对称剪纸_第一课时(二等奖)(沪书画版二年级上册)_T3784187
沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 10