高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理：

定理1：若直线l不经过?ABC的顶点，并且与?ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长

BPCQAR线分别交于P、Q、R，则???1PCQARB

证：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线l的垂

BPCQARhBhChA??????1PCQARBhChAhB

注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；

例1：若直角?ABC中，CK是斜边上的高，CE是?ACK的平

分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，

证明：BF//CE。证：在?EBC中，作?B的平分线BH则：?EBC??ACK

?HBC??ACE,?HBC??HCB??ACE??HCB?90?

即：BH?CE??EBC为等腰三角形作BC上的高EP，则：CK?EP

CDAEKF对于?ACK和三点D、E、F???1 DAEKFC

KFEKCKEPBPBKKFBK于是＝????＝FCAEACACBCBEFCBE

KFBK＝??FKB??CKE?BF//CEKCKE

定理2：设P、Q、R分别是?ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于?ABC边上的点的个数为

0或2，这时若BPCQAR???1，PCQARB

求证：P、Q、R三点共线；

证：设直线PQ与直线AB交于R'，于是由定理1得：

BPCQAR'

??'?1又PCQARBBPCQARAR'AR???1'＝PCQARBRBRB

由于在同一直线上的P、Q、R'三点中，位于?ABC边上的点的个数也为0或2，

因此R与R'或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；

若R与R'同在AB线段上，则R与R'必定重合，不然的话，设AR?AR',

ARAR'ARAR'

''这时AB?AR?AB?AR,即BR?BR,于是可得?这与＝'矛盾'BRBRBRBR

类似地可证得当R与R'同在AB的延长线上时，R与R'也重合

综上可得：P、Q、R三点共线；

注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；

例2.点P位于?ABC的外接圆上；A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足，证明点A1、B1、C1共线；

BABP?cos?PBC

1??,

CA1CP?cos?PCBCB1CP?cos?PCA??,AB1AP?cos?PAC将上面三条式子相乘，且

AC1AP?cos?PAB

??BC1PB?cos?PBA

?PAC??PBC,?PAB??PCB,?PCA??PBA?BACBAC1

可得1?1?1，依梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线；

CA1AB1BC1

【练习】从点1K引四条直线，另两条直线分别交这四条直线于A、B、C、D

ADACADAC

和A1、B1、C1、D1:?11:11

BCBDB1C1B1D1

【练习2】设不等腰?ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB 的交点X、Y、Z在同一条直线上；

【练习3】已知直线AA1，BB1，CC1相交于O，直线AB和

A1B1的交点为C2，直线BC与B1C1的交点是A2，直

线AC与A1C1的交点是B2，试证：A2、B2、C2三点共线；

【练习4】在一条直线上取点E、C、A，在另一条上取点B、F、D，记直线AB和ED，CD和AF，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线

练习1的证明

证：若AD//A1D1，结论显然成立；

若AD与A1D1相交与点L，则把梅涅劳斯定理分别用于?A1AL和?B1BL可得：ADLD1A1KLCAKA1C1BCLC1B1K

???1???1???1LDA1D1AKACA1KLC1LCB1C1BKLDBKB1D1

???1BDB1KLD1

ADBCA1C1B1D1

????1

ACBDA1D1B1C1ACADA1C1A1D1:?:

BCBDB1C1B1D1

练习2的证明

BXCEAF证：?ABC被直线XFE所截，由定理1???1XCEAFB

BXFB又AE?AF＝XCCE CYDCAZEA＝＝YAAFZBBD

BXCYAZ???1XCYAZB

又X、Y、Z都不在?ABC的边上，由定理2可得X、Y、Z三点共线练习3的证明

证：设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1，AC和A1C1，AB和A1B1的交点，

对所得的三角形和在它们边上的点：OAB和(A1，B1,C2),OBC和(B1，

C1,A2),OAC和(A1，C1,B2)应用梅涅劳斯定理有：AA1OB1BC2OC1BB1CA2OA1CC1AB2???1???1???1OA1BB1AC2CC1OB1BA2AA1OC1CB2

BCAB2CA22???1AC2CB2BA2

由梅涅劳斯定理可知A2,B2,C2共线练习4的证明

证：记直线EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对?UVW，应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,D,E),(A,M,F),(B,C,N),(A,C,E),(B,D,F)，则有UEVLWDVAUFWMUNWCVB???1???1???1VEWLUDWAVFYMVNUCWB

WAUCVEWBUDVF???1???1VAWCUEVBWDUF

VLWMUN???1,?点L,M,N共线WLUMVN