高中数学竞赛 平面几何讲座第3讲 点共线、线共点

第三讲 点共线、线共点

在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。

1. 点共线的证明

点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。

例1 如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，

BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。 证 连AK，DG，HB。

G

由题意，ADECKG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AKDG。同样可证

行四边形，其对AKHB。四边形AHBK是平A

角线AB，KH互相平分。而C是AB中点，线

段KH过C点，故K，C，H三点共线。

例2 如图所示，菱形ABCD中，∠A=120

为△ABC外接圆，M为其上

一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。

证 如图，连AC，DF，DE。

因为M

在

上，

则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB

有△AMC∽△ACF，得

MCCFCF

。 MACACD

又因为∠AMC=BAC，所以△AMC∽△EAC，得

MCACAD

。 MAAEAE

CFAD

所以，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽ CDAE

△ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为AD∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，于是F，E，D三点共线。

例3 四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的

延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。 证 如图。 连接PQ，并在PQ上取一点M，使得

B，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另Q易如 一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。(EQE2=QM·QP=QC·QB ①

∠PMC=∠ABC=∠PDQ。

从而C，D，Q，M四点共圆，于是

PM·PQ=PC·PD ② 由①，②得

PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB， 即PQ2=QC·QB+PC·PD。

易知PD·PC=PE’·PF，又QF2=QC·QB，有

PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2，

即PE’·PF=PQ2-QF2。又

PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF)

=PF·(PG－GF)，

从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合。 所以P，E，F三点共线。

例4 以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交

圆O于C，D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。

证 如图，连AF，EF，OA，OB，OP，BF，OF，

延长FC交BE于G。 易如OA丄AP，OB丄BP， OF丄CP，所以P，A，F，O，B

五点共圆，有∠AFP=∠AOP=∠POB=

∠PFB。

又因CD∥BE，所以有

∠PFB=∠FBE，∠EFD=∠FEB，

而FOG为BE的垂直平分线，故EF=FB，∠FEB=∠EBF， 所以∠AFP=∠EFD，A，F，E三点共线。

2. 线共点的证明

证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。

例5 以△ABC的两边AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG。

△ABC的高为AH。求证：AH，BF，CD交于一点。

证 如图。延长HA到M， M

使AM=BC。连CM，BM。 设CM与BF交于点K。 在△ACM和△BCF中， G

AC=CF，AM=BC，

∠MAC+∠HAC=180°， D

FK∠HAC+∠HCA=90°，

并且∠BCF=90°+∠HCA， 因此∠BCF+∠HAC=180°

∠MAC=∠BCF。

从而△MAC≌△BCF，∠ACM=∠CFB。

所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°， 即 BF丄MC。

同理CD丄MB。AH，BF，CD为△MBC的3条高线，故AH，BF，CD三线交于一点。

例6 设P为△ABC内一点，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC。又设D，E分别

是△APB及△APC的内心。证明：AP，BD，CE交于一点。

证 如图，过P向三边作垂线，垂足分别为R，S，T。

连RS，ST，RT，设BD交AP于M，CE交AP于N。

易知P，R，A，S；P，T，B，R； P，S，C，T分别四点共圆，则 ∠APB－∠ACB=∠PAC+∠PBC =∠PRS+∠PRT =∠SRT。

同理，∠APC－∠ABC=∠RST，

由条件知∠SRT=∠RST，所以RT=ST。 又RT=PBsinB，ST=PCsinC， 所以PBsinB=PCsinC，那么

PBPC

。 ABAC

由角平分线定理知

ANACABAM

。 NPPCPBMP

故M，N重合，即AP，BD，CE交于一点。 例7

1

与

O2外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q，R

分别为

O1

，

2上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I，IN垂直于O1O2，垂足为N，IN与QR交于点M。证明：PM，RO1，QO2三条直线交于一点。

证 如图，设RO1与QO2交于点O，

连MO，PO。

因为∠O1QM=∠O1NM=90°，所以Q，共圆，有∠QMI=∠QO1O2。

而∠IQO2=90°=∠RQO1， 所以∠IQM=∠O2QO1， 故△QIM∽△QO2O1，得

QO1O1O2

QMMI

I

Q

1N

2

O1，N，M四点

同理可证

RO2O1O2

。因此 RMMI

QMQO1

①

MRRO2

因为QO1∥RO2，所以有

O1OQO1

②

ORRO2

由①，②得MO∥QO1。 又由于O1P=O1Q，PO2=RO2， 所以

O1OO1QO1P

，

ORRO2PO2

即OP∥RO2。从而MO∥QO1∥RO2∥OP，故M，O，P三点共线，所以PM，RO1，QO2三条直线相交于同一点。

3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用

定理1 (塞瓦(Ceva)定理):

设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点。若AP，BQ，CR相交于一点M，则

BPCQAR

1。 PCQARB

C

证 如图，由三角形面积的性质，有

ARS AMCBPS AMBCQS BMC

, , .

RBS BMCPCS AMCQAS AMB

以上三式相乘，得

BPCQAR

1. PCQARB

定理2 (定理1的逆定理):

设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB上的点。若则AP，BQ，CR交于一点。

证 如图，设AP与BQ交于M，连CM，交AB于R’。

由定理1有

BPCQAR'BPCQAR

1. 而 1，所以 PCQAR'BPCQARB

BPCQAR

1，PCQARB

AR'AR

. R'BRB

于是R’与R重合，故AP，BQ，CR交于一点。

定理3 (梅涅劳斯(Menelaus)定理):

一条不经过△ABC任一顶点的直线和三角形三边BC，CA，AB(或它们的延长线)分别交于P，Q，R，则

BPCQAR

1 PCQARB

证 如图，由三角形面积的性质，有

B

ARS ARPBPS BRPCQS CRP

, , .

RBS BRPPCS CPRQAS ARP

将以上三式相乘，得

BPCQAR

1. PCQARB

定理4 (定理3的逆定理):

设P，Q，R分别是△ABC的三边BC，CA，AB或它们延长线上的3点。若

BPCQAR

1， PCQARB

则P，Q，R三点共线。

定理4与定理2的证明方法类似。

塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。

例8 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，

BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。 证 如图，连接BD交AC于H，

过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE

A的延长线于J。

对△BCD用塞瓦定理，可得

DCGBHDE

1 ① GBHDECB