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高中数学联赛

上传者:蒋美华
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上传时间:2015-04-15
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高中数学联赛

2009年全国高中数学联合竞赛一试

试题参考答案及评分标准

说明:

1.评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设7分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中至少4分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、填空(共8小题,每小题7分,共56分)

?f?ff?x??1. 若函数f?

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x??且f(n)?x??f?,则f?99??1?? ????n

1【答案】 10

1【解析】 f???x??f?

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x??,

f?2??x??f??f?

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x????

……

1故f?99??1??. 10f?99??

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x??.

2. 已知直线L:x?y?9?0和圆M:2x2?2y2?8x?8y?1?0,点A在直线L上,B,

C为圆M上两点,在?ABC中,?BAC?45?,AB过圆心M,则点A横坐标范围为 .

【答案】 ?3,6?

【解析】 设A?a,则圆心M到直线AC的距离d?AMsin45?,由直线AC与圆M相

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9?a?,

解得3≤a≤6. 交,得d

?y≥0?3. 在坐标平面上有两个区域M和N,M为?y≤x,N是随t变化的区域,它由

?y≤2?x?

不等式t≤x≤t?1所确定,t的取值范围是0≤t≤1,则M和N的公共面积是函数f?t?? .

1 2

【解析】 由题意知

f?t??S阴影部分面积 【答案】 ?t2?t?

?S?AOB?S?OC?DS? B

112 ?1?t2??1?

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t? 2212

??t2?t?

1 2

1111????a?2007对一切正整数n都成立的最小正整数n?1n?22n?13a的值为.

2009 【答案】

111【解析】 设f?n??.显然f?n?单调递减,则由f?n?的最大值???n?1n?22n?1

1f?1??a?2007,可得a?2009. 3

x2y2

5. 椭圆2?2?1?a?b?0?上任意两点P,Q,若OP?OQ,则乘积OP?OQ的ab最小值为 . 2a2b2

【答案】2 a?b2

【解析】 设P?OPcos OPsin ?, 4. 使不等式

?π?π????Q?OQcos? ??OQsin? ???. 2?2?????

由P,Q在椭圆上,有

cos2 sin2 ??2 ①22abOP1sin2 cos2 ② ?2?ab2OQ1

①+②得 111

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1???. 22a2b2OPOQ

2a2b2

于是当OP?OQ时,OPOQ达到最小值2. a?b2

6. 若方程lgkx?2lg?x?1?仅有一个实根,那么k的取值范围是

k?0或k?4 【答案】

?kx?0??【解析】 ?x?1?0

?2??kx??x?1?

当且仅当

kx?0

x?1?0

x2??2?k

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?x?1?0 ① ② ③ 对③由求根公式得

1x1,x2??k?2 ④ 2?

??k2?4k≥0?k≤0或k≥4.

12

(ⅰ)当k?0时,由③得

?x1?x2?k?2?0 ?xx?1?0?12

所以x1,x2同为负根.

?x?1?0又由④知?1 x?1?0?2

所以原方程有一个解x1.

k?1?1. 2

?x?x?k?2?0(ⅲ)当k?4时,由③得?12 xx?1?0?12(ⅱ)当k?4时,原方程有一个解x?

所以x1,x2同为正根,且x1?x2,不合题意,舍去.

综上可得k?0或k?4为所求.

7. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个

数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示)

101?298 【答案】

【解析】 易知:

(ⅰ)该数表共有100行;

(ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为

d1?1,d2?2,d3?22,…,d99?298

(ⅲ)a100为所求.

设第n?n≥2?行的第一个数为an,则

an?an?1?an?1?2n?2?2an?1?2n?2

n?3n?2?2??2an?2?2???2

n?4n?2n?2? ?22?2a?2?2?2?2n?3????

?23an?3?3?2n?2

……

?2n?1a1??n?1??2n?2

??n?1?2n?2

故a100?101?298.

∶00~9∶00,9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随

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8. 某车站每天8

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一旅客8∶20到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分).

【答案】 27

【解析】 旅12

候车时间的数学期望为

11111

10??30??50??70??90??27

23361218

二、解答题

x2y2

1. (本小题满分14分)设直线l:y?kx?m(其中k,m为整数)与椭圆??1

1612

x2y2

交于不同两点A,B,与双曲线??1交于不同两点C,D,问是否存在直

412

线l,使得向量AC?BD?0,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由. ?y?kx?m?

【解析】 由?x2y2消去y化简整理得

??1?

?1612

?3?4k?x

2

2

?8kmx?4m2?48?0

8km

3?4k2

设A?x1,y1?,B?x2,y2?,则x1?x2??

?1??8km??4?3?4k2??4m2?48??0

2

① ………………………………………………4分 ?y?kx?m?

由?x2y2消去y化简整理得

??1?

?412

?3?k?x

2

2

?2kmx?m2?12?0

2km

3?k2

设C?x3,y4?,D?x4,y4?,则x3?x4?

?2???2km??4?3?k2??m2?12??0

2

② ………………………………………………8分

因为AC?BD?0,所以?x4?x2???x3?x1??0,此时?y4?y2???y3?y1??0.由x1?x

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2?x3?

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x4得

8km2km

. ?

3?4k23?k2

41

所以2km?0或?.由上式解得

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k?0或m?0

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.当k?0时,由①和②?

3?4k23?k2

得?m?.因m是整数,所以m的值为?3,?2,?1,0,1,2,3.当m?0,由①和②得kk是整数,所以k??1,0,1.于是满足条件的直线共有9条.………14分 ?

2. (本小题15分)已知p,q?q?0?是实数,方程x2?px?q?0有两个实根?,?,

4,数列?an?满足a1?p,a2?p2?q,an?pan?1?qan?2?n?3,

?

(Ⅰ)求数列?an?的通项公式(用?,?表示);

1

(Ⅱ)若p?1,q?,求?an?的前n项和.

4

12

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【解析】 方法一:

(Ⅰ)由韦达定理知????q?0,又????p,所以

an?pxn?1?qxn?2??????an?1???an?2,?n?3,4,5,?

整理得an??an?1???an?1??an?2?

令bn?an?1??an,则bn?1??bn?n?1,2,

数列?bn?的首项为:

2所以?bn?是公比为?的等比数列. ?.b1?a2??a1?p2?q??p??????????????????2.

1所以bn??2??n???n?,即an?1??an??n?12,??n?1,.所以

,2,an?1??an??n?1?n?1,?.

时,①当??p2?4q?0????0,a1?p?????2?

2,an?1??an??n?1?n?1,?变为an?1??an??n?1?n?1,2,?.整理得,

?.所以,数列??an?成公差为1的等差数列,其n????an?1

??n?1an?n

a12,?1,?n?1,首项为??2?

??2.所以

an

于是数列?an?的通项公式为 ?n?2?1?n?1??n?1.

an??n?1??n;……………………………………………………………………………5分

②当??p2?4q?0时,???,

an?1??an??n?1

???n?1??an?? ???

????an??n?1??n?1?n?1,2,???????.

整理得

??n?2?n?1?an?1????an?2,?. ?,?n?1,????????

??n?1?所以,数列?an??成公比为?的等比数列,其首项为?????

?2?2?2?n?1?2

a1?????????n?1. .所以an????????????????

于是数列的通项公?an?式为

?n?1??n?1

an?.………………………………………………10分 ???

11(Ⅱ)若p?1,q?,则??p2?4q?0,此时????.由第(Ⅰ)步的结果得,数42

n?1?n?1列?an?的通项公式为an??n?1????n,所以,?an?的前n项和为 2?2?

234nn?1sn??2?3??n?1?n 22222

1234nn?1 sn?2?3?4???22222n2n?1

12

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