高中数学联赛

2009年全国高中数学联合竞赛一试

试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）

?f?ff?x??1． 若函数f?

x??且f(n)?x??f?，则f?99??1?? ????n

1【答案】 10

1【解析】 f???x??f?

x??，

f?2??x??f??f?

x????

……

1故f?99??1??． 10f?99??

x??．

2． 已知直线L:x?y?9?0和圆M:2x2?2y2?8x?8y?1?0，点A在直线L上，B，

C为圆M上两点，在?ABC中，?BAC?45?，AB过圆心M，则点A横坐标范围为 ．

【答案】 ?3，6?

【解析】 设A?a，则圆心M到直线AC的距离d?AMsin45?，由直线AC与圆M相

9?a?，

解得3≤a≤6． 交，得d

?y≥0?3． 在坐标平面上有两个区域M和N，M为?y≤x，N是随t变化的区域，它由

?y≤2?x?

不等式t≤x≤t?1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f?t?? ．

1 2

【解析】 由题意知

f?t??S阴影部分面积 【答案】 ?t2?t?

?S?AOB?S?OC?DS? B

112 ?1?t2??1?

t? 2212

??t2?t?

1 2

1111????a?2007对一切正整数n都成立的最小正整数n?1n?22n?13a的值为．

2009 【答案】

111【解析】 设f?n??．显然f?n?单调递减，则由f?n?的最大值???n?1n?22n?1

1f?1??a?2007，可得a?2009． 3

x2y2

5． 椭圆2?2?1?a?b?0?上任意两点P，Q，若OP?OQ，则乘积OP?OQ的ab最小值为 ． 2a2b2

【答案】2 a?b2

【解析】 设P?OPcos OPsin ?， 4． 使不等式

?π?π????Q?OQcos? ??OQsin? ???． 2?2?????

由P，Q在椭圆上，有

cos2 sin2 ??2 ①22abOP1sin2 cos2 ② ?2?ab2OQ1

①+②得 111

1???． 22a2b2OPOQ

2a2b2

于是当OP?OQ时，OPOQ达到最小值2． a?b2

6． 若方程lgkx?2lg?x?1?仅有一个实根，那么k的取值范围是

k?0或k?4 【答案】

?kx?0??【解析】 ?x?1?0

?2??kx??x?1?

当且仅当

kx?0

x?1?0

x2??2?k

?x?1?0 ① ② ③ 对③由求根公式得

1x1，x2??k?2 ④ 2?

??k2?4k≥0?k≤0或k≥4．

12

(ⅰ)当k?0时，由③得

?x1?x2?k?2?0 ?xx?1?0?12

所以x1，x2同为负根．

?x?1?0又由④知?1 x?1?0?2

所以原方程有一个解x1．

k?1?1． 2

?x?x?k?2?0(ⅲ)当k?4时，由③得?12 xx?1?0?12(ⅱ)当k?4时，原方程有一个解x?

所以x1，x2同为正根，且x1?x2，不合题意，舍去．

综上可得k?0或k?4为所求．

7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个

数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）

101?298 【答案】

【解析】 易知：

(ⅰ)该数表共有100行；

(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为

d1?1，d2?2，d3?22，…，d99?298

(ⅲ)a100为所求．

设第n?n≥2?行的第一个数为an，则

an?an?1?an?1?2n?2?2an?1?2n?2

n?3n?2?2??2an?2?2???2

n?4n?2n?2? ?22?2a?2?2?2?2n?3????

?23an?3?3?2n?2

……

?2n?1a1??n?1??2n?2

??n?1?2n?2

故a100?101?298．

∶00~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随

8． 某车站每天8

一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．

【答案】 27

【解析】 旅12

候车时间的数学期望为

11111

10??30??50??70??90??27

23361218

二、解答题

x2y2

1． （本小题满分14分）设直线l:y?kx?m（其中k，m为整数）与椭圆??1

1612

x2y2

交于不同两点A，B，与双曲线??1交于不同两点C，D，问是否存在直

412

线l，使得向量AC?BD?0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． ?y?kx?m?

【解析】 由?x2y2消去y化简整理得

??1?

?1612

?3?4k?x

2

2

?8kmx?4m2?48?0

8km

3?4k2

设A?x1，y1?，B?x2，y2?，则x1?x2??

?1??8km??4?3?4k2??4m2?48??0

2

① ………………………………………………4分 ?y?kx?m?

由?x2y2消去y化简整理得

??1?

?412

?3?k?x

2

2

?2kmx?m2?12?0

2km

3?k2

设C?x3，y4?，D?x4，y4?，则x3?x4?

?2???2km??4?3?k2??m2?12??0

2

② ………………………………………………8分

因为AC?BD?0，所以?x4?x2???x3?x1??0，此时?y4?y2???y3?y1??0．由x1?x

2?x3?

x4得

8km2km

． ?

3?4k23?k2

41

所以2km?0或?．由上式解得

k?0或m?0

．当k?0时，由①和②?

3?4k23?k2

得?m?．因m是整数，所以m的值为?3，?2，?1，0，1，2，3．当m?0，由①和②得kk是整数，所以k??1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分 ?

2． （本小题15分）已知p，q?q?0?是实数，方程x2?px?q?0有两个实根?，?，

4，数列?an?满足a1?p，a2?p2?q，an?pan?1?qan?2?n?3，

?

(Ⅰ)求数列?an?的通项公式（用?，?表示）；

1

(Ⅱ)若p?1，q?，求?an?的前n项和．

4

12

【解析】 方法一：

(Ⅰ)由韦达定理知????q?0，又????p，所以

an?pxn?1?qxn?2??????an?1???an?2，?n?3，4，5，?

整理得an??an?1???an?1??an?2?

令bn?an?1??an，则bn?1??bn?n?1，2，

数列?bn?的首项为：

2所以?bn?是公比为?的等比数列． ?．b1?a2??a1?p2?q??p??????????????????2．

1所以bn??2??n???n?，即an?1??an??n?12，??n?1，．所以

，2，an?1??an??n?1?n?1，?．

时，①当??p2?4q?0????0，a1?p?????2?

2，an?1??an??n?1?n?1，?变为an?1??an??n?1?n?1，2，?．整理得，

?．所以，数列??an?成公差为1的等差数列，其n????an?1

??n?1an?n

a12，?1，?n?1，首项为??2?

??2．所以

an

于是数列?an?的通项公式为 ?n?2?1?n?1??n?1．

an??n?1??n；……………………………………………………………………………5分

②当??p2?4q?0时，???，

an?1??an??n?1

???n?1??an?? ???

????an??n?1??n?1?n?1，2，???????．

整理得

??n?2?n?1?an?1????an?2，?． ?，?n?1，????????

??n?1?所以，数列?an??成公比为?的等比数列，其首项为?????

?2?2?2?n?1?2

a1?????????n?1． ．所以an????????????????

于是数列的通项公?an?式为

?n?1??n?1

an?．………………………………………………10分 ???

11(Ⅱ)若p?1，q?，则??p2?4q?0，此时????．由第(Ⅰ)步的结果得，数42

n?1?n?1列?an?的通项公式为an??n?1????n，所以，?an?的前n项和为 2?2?

234nn?1sn??2?3??n?1?n 22222

1234nn?1 sn?2?3?4???22222n2n?1

12