19二项式定理

二项式定理

一、基本概念：

233223

1.回忆旧知识：(a b)2 a2 2ab b,(a b) a 3ab 3ab ，b那么类似(a b)4，

(a b)5以及(a b)n展开式又是怎样的情形？

2.发生原理：(a b)2,(a b)3的展开式中出现了哪些项，这些项的系数分别如何表示？

02122

(a b)2 a2 2ab b2 C2a C2ab C2b

0312233(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 C3a C3ab C3ab2 C3b

从原理上该如何解释？

3.猜测(a b)4的展开式的形式：

13

ab C42a2b2 C43a3b C44b4）(a b)4 _________________（(a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 a4 C40a4 C4

解释：(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)，

00

每个都不取b的情况有1种即C4，所以a的系数为C4，同理可证其他情况。

4

4.定理的一般形式：

0n1n定义：二项式定理：(a b)n Cna Cnab

rn rr

Cnab

nn

Cnb(n N )

⑴(a b)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb， ，an rbr， ，bn，

⑵展开式各项的系数：

每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

11

恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn， ，

n

0n0

恰有r个取b的情况有Cn种，a

n

n

rn r

r

br的系数是Cn， ，

n

有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn， ∴(a b) Cna Cnab

n

0n

1n

rn rr

Cnab

nn

Cnb(n N )，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a b)的二项展开式，

n

r

⑶它有n 1项，系数Cn(r 0,1,

n)叫第r 1项的二项式系数，

rn rrrn rr⑷Cnab． ab叫二项展开式的第r 1项也叫通项，用Tr 1表示，即通项Tr 1 Cn

5.定理记忆：

（1）各项次数为二项式幂指数n，即a,b的次数和为n

r（2）注意观察a,b的次数与二项式系数Cn中r的关系：a的次数从n到1；b的次数从1到n

6.几点注意：

rn rr（1）通项Tr 1 Cnab是(a b)n的展开式中的第r 1项，不是第r项.

例：(a b)10的第7项是______（210a4b6）

（2）二项式(a b)n的第r 1项和(b a)n的第r 1项是有区别的，前者是按a降幂排列，后者是

按b降幂排列.

rn rrrn rr例：Cnab Cnba

（3）“二项式系数” “系数”，二项式系数恒大于0，系数可正可负.

66例：(3x 2y)10中第6项的（1）二项式系数C10；（2）系数C10 34 26 0n1n（4）展开式(a b)n Cna Cnab

0n1n

(a b)n Cna Cna( b)

rn rr

Cnab

nn

Cnb(n N )只对标准形式而言，n Cn( b)n(n N )可以认为是将原式中

rn r

Cna( b)r

的b换为 b得到的，两者相应项的二项式系数相同，系数不同，有些互为相反数

（5）利用赋值法，在y (a b)n中对a,b给予赋值会得到很多需要的式子或值，其中一种，令

12

a 1,b x，则y (1 x)n 1 Cxn Cxn

2

rnn

Cxnr Cxnn( N

) 叫母函数，将其中

的x给予相应赋值会得到很多结论

（6）杨辉三角中的相应结论：（略）

7.二项式系数的性质：（可结合杨辉三角观察，归纳）

n（1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C0n Cn，

n 12n 2rn r

C1n Cn,Cn Cn, ,Cn Cn；

证明：Cn Cn

mn m

（2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n是偶

n数时，中间一项Cn2

最大；当n

n 1

是奇数时，中间两项Cn2n 1，Cn2

相等，且为最大值；

k

证明：Cn

n(n 1)(n k 1)k 1n k 1， Cn

(k 1)!kk

k

n k 1n 1Cnn k 1kk 1当时k 1 1，即k 1，即Cn Cn

k2Cnkk

Cnn k 1n 1n k 1kk 1

当时k 1 1，即k 1，即Cn Cn

k2Cnk

012

（3）二项式系数和为Cn Cn Cn

024

奇偶项系数和相等Cn Cn Cn

n

Cn 2n, 135

Cn Cn Cn

证明：赋值法

8.二项式定理常见问题

【一】求展开式中的指定项、指定项的系数及常数项问题

rn rr

此类问题的求解关键在于利用通项公式Tr 1 Cnab求出r的值，也可以说是求出指定项是

第几项。

1

例1、 x 展开式中间的项是__________。

x

分析：由二项工系数的性质知，若求展开式的中间项，只需判断幂指数的奇、偶特征即可。因为2n是偶数，所以展开式的中间式是第

n

2n

2n2n

n。根据展开式的通项公 1项，此时r 22

式知：T2n

n

nn 1 n

C2 x ( 1)nC2nn。

x

例2、在

x

10

的展开式中，含x项的系数是( )。

4

6

4

6

A、 27C10 B、27C10 C、 9C10 D、9C10

r10 r

3解：Tr 1 C10x

6

r 0,1,2, ,10 ，令10 r 6得r 4，

r

含x项的系数是C10(

10

64

4

，故选D。 )4 9C10

1

x 的展开式中的常数项是_________。 例3、 x

Tr 1解：

得r

r C10

x

10 r

5 r 1 5rr

C10 1 x6 r 0,1,2, ,10 ，令5 r 0解

6x

r5

66

6 常数项为T7 C10 1 210。

【二】近似计算问题

解决此类问题要注意题目要结果精确到什么或保留几位有效数字，以便考虑最后一项的取舍，一般要四舍五入。求数的n次幂的近似值 时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。 例4、求

3.002 6的近似值(精确到0.001)

6

解：原式=(3+0.002) =3

6

6 35 0.002 15 34 0.0022 20 33 0.0023

729 2.916 0.00486 731.92086 731.921

【三】整除与求余问题

此类题目往往考虑用数学归纳法证明，但是步骤较为繁琐，而用二项式定理证明则显得更为简捷。

例5、利用二项式定理证明：当n N 时，3

2n 2

8n 9能被64整除。

证明：32n 2 8n 9 9n 1 8n 9 (8 1)n 1 8n 9

1n2n 1n 12n

8n 1 Cn Cn 1 8 Cn 1 8 1 8 Cn 1 8 1 8n 9 1n 223n 1 82 （8n 1 Cn。 8 C 8 C 1n 1n 1）1n 223n 1而8n 1 Cn Cn 1 8 1 8 Cn 1 N

3

2n 2

8n 9能被64整除。

2

3

33

例6、求C33 C33 C33 C33除以9 的余数。

解：由于C33 C33 C33 C33=233 1 811 1 (9 1)11 1 =9 C9 9

11

1

10

210

C9 99 C11 9 1 1 9

2

8

10

1

12333

=99 C9 9 C9 9 C11 2

101

所求的余数为7。

【四】证明有关的不等式问题

有些不等式可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去（缩

小），或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。

1

例7、求证：2 1 3 n 2 。

n

证明： 当n 2时，

n

12 1 0112n1n011

1 Cn Cn Cn () Cn() Cn Cn 2。

nnnn n

1 1 0112n1n

又 1 Cn Cn Cn ()2 Cn()

nnn n

＝2

n

n

11112

(1 ) (1 )(1 ) 3 2!n3!nn

n

1

不等式2 1 3 n 2 成立。

n

【五】利用赋值法求各项系数的和的问题

例8、设(1 x x2)n a0 a1x a2x2 a2nx2n

求a1 a3 a5 a2n 1的值。

解：令x 1，得a0 a1 a2 a2n 3n ①

再令x 1得a0 a1 a2 a3 a2n 1 a2n 1 ②。

3n 1

①－②可得a1 a3 a5 a2n 1＝。

2

二、习题精练：

【一】二项式通项应用 1.写出(x y)11的展开式中

r11 rr

（1）通项Tr 1；（Tr 1 C11xy( 1)r）

（2）二项式系数最大的项；（共12项，中间两项都是T6 C11xy,T7 C11xy,） （3）项的系数绝对值最大的项；（同（2）） （4）项的系数最大的项；（T7 C11xy,） （5）项的系数最小的项；（T6 C11xy） （6）二项式系数的和；（C11 C11 C11

1

2

11

C11 211,）

5

6

5

6

5

6

565656

（7）各项系数的和.（令x=1，y=1和为0） 2. (2x 3y)展开式中

（1）二项式系数最大的是第____项（共29项，故中间项为第15项）

（2）系数最大项是第______项

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