学生版版高二竞赛辅导4.12

高二竞赛辅导《三角 平面向量 复数》专题

例1设向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),

求证:sin(???)?sin?cos??cos?sin?.

例2设f(x)?a?b,其中向量a?

(2cosx,1),b?(cosx2x),x?R

(I)

若f(x)?1且x?[???,],求x; (II)若函数y?2sin2x的图象按向量33

c?(m,n)(m?

例3(1)当x??2)平移后得到函数y?f(x)的图象,求实数m,n的值. ?

4,函数f(x)?cos2x?sinx的最大值是最小值是.

32 (2)函数y?cosx?sinx?cosx的最大值是.

(3)当函数y?sinx?2sinxcosx?3cosx取得最小值时,x的集合是 (4)函数y?22sinx(0?x??)的值域是 . cosx?1

例4已知?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a?4,b?c?5,tanA?

tanB= ?tanAtanB),求角A.

选择题

1在复平面内,

复数???12?对应的向量为OA,复数?对应的向量为OB, 2那么向量AB对应的复数是 A,1 B,?1

D,

2已知?是第二象限角,其终边上一点

P(x

且cos??x,则sin?=

4

A,

B,

C,

D,? 4444

3函数y?2sin(3x??

4

?2?4?A, B, C,? D, 333

4已知向量OB?(2,0),向量OC?(2,2),

向量CA???),则向量 )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 OA与向量OB的夹角的取值范围是

A,[0,??5?5???5?] B,[,] C,[,] D,[,] 44121221212

5已知a?(?,2),b?(?3,5),且a与b的夹角为钝角,则?的取值范围是

A,??10101010 B,?? C,?? D,?? 3333

6若x是三角形的最小内角,则函数y?sinx?cosx?sinxcosx的值域是

A,[?1,??)

B,[?1

C,

D,]

填空题

7已知sin??sin??1,则cos(???)8复数z1?3?i,z2?1?i,则z?z1?z2在复平面内的对应点位于第.

229若tan??2,则4sin??3sin?cos??5cos?

12

10与向量

a??1)和b?(1

的夹角相等,c?. 11在复数集C内,方程2x?(5?i)x?6?0的解为

2

解答题

12若 ?[?

13设函数f(x)?2x?1?2?x?1,x?R,若当0? ?],求函数y?cos(? )?sin2 的最小值,并求相应的 的值. 12124,????

2时,f(cos2 ?2msin )?

f(?2m?2)?0恒成立,求实数m的取值范围.

5?z?214设argz?,且?R,复数?满足??1,求??z的最大值与最小值 4z

15已知向量a?(cos233xx?x,sinx),b?(cos,?sin),且x?[0,] 22222

(I)求a?b及a?b; (II)求函数f(x)?a?b?4a?b的最小值.

16设平面向量a

??1),b?(??1.若存在实数m(m?0)和角 ( ?(?,)), 222使向量c?a?(tan2?3)b,d??ma?btan ,且c?d.

(I)求函数m?f( )的关系式; (II)令t?tan ,求函数m?g(t)的极值.

高二数学竞赛辅导《不等式》专题

一、基础知识

不等式的基本性质：

（1）a>b?a-b>0；（2）a>b, b>c?a>c；（3）a>b?a+c>b+c；（4）a>b, c>0?ac>bc；

（5）a>b, c<0?ac<bc;（6）a>b>0, c>d>0?ac>bd;（7）a>b>0, n∈N+?an>bn;（8）a>b>0, n∈N+?a?;（9）a>0, |x|<a?-a<x<a, |x|>a?x>a或x<-a;（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;

（11）a, b∈R，则(a-b)2≥0?a2+b2≥2ab;（12）x, y, z∈R+，则x+y≥2xy, x+y+z?3xyz.

二、方法与例题

1．不等式证明的基本方法。

（1）比较法，在证明A>B或A<B时利用A-B与0比较大小，或把

最后得出结论。

例1 设

x2+y2+z2?2A（A，B>0）与1比较大小，Bx, y, z, 有a, b, c∈R+，试证：对任意实数?a?babcb?cc?a??xy?yz?xz?. ??(a?b)(b?c)(c?a)?cab?

例2 若a<x<1，比较大小：|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.

（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。

例3 已知a, b, c∈R+，求证：a+b+c-3abc≥a+b?2ab.

例4 已知实数a, b, c满足0<a≤b≤c≤2111??. ，求证：2c(1?c)a(1?b)b(1?a)

（3）数学归纳法。

例5 对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n.

（4）反证法。

例6 设实数a0, a1,…,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,…, an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1, 2,…, n-1).

（5）分类讨论法。

x2?y2y2?z2z2?x2

例7 已知x, y, z∈R，求证：???0. y?zz?xx?y+

（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1, C1≥C2,…,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+). 例8 求证：1?

例9 已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证：

（7）引入参变量法。 111????n?n(n?2). 232?1abc??. a?mb?mc?m

b3

例10 已知x, y∈R, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=2?2的最小值。 xy+a3

例11 设x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.

（8）局部不等式。

例12 已知x, y, z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：3xyz?. ??22221?x1?y1?z例13 已知0≤a, b, c≤1，求证：

（9）利用函数的思想。 abc??≤2。 bc?1ca?1ab?1

111??的最小值。 a?bb?cc?a例14 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=