一道数学竞赛题的加强

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一道数学竞赛题的加强

２０１３年第９期７

一道数学竞赛题的加强

袁汉辉

（华南师范大学数学科学学院，５１０６３１）

中图分类号：０１５１．１文献标识码：Ａ文章编号：１００５—６４１６（２０１３）０９一Ｏ００７—０２

笔者为２００６年中国东南地区数学奥林其中，［石］表示不超过实数菇的最大整数匹克提供的一道竞赛题为：证明将方程①化为

题目（１）求不定方程［ｎ一（ｋ—ｍ）］［ｒ一（ｋ—ｍ）］，见ｎ＋，ｌｒ＋玎ｌｒ＝２（ｍ＋ｎ＋ｒ）＝ｋ２一ｋｍ＋ｍ２．⑦的正整数解（ｍ，ｎ，ｒ）的组数；取ｎ＝ｋ—ｍ＋１，ｒ＝ｋ２一ｋｍ＋ｍ２＋ｋ—ｍ

（２）对给定的整数ｋ＞１，证明：不定方程满足方程②．

，胁＋，圹＋ｍｒ＝ｋ（ｍ＋ｎ＋ｒ）此时，ｍ＋ｎ＝ｋ＋ｌ，且至少有３Ｉ｜｝＋ｌ组正整数解（ｍ，ｎ，ｒ）．

其中，（２）在ｋ＞３时可以加强为：ｒ＝（ｍ一等）２＋｛（弧＿１）（川）＞㈧．

命题对给定的整数ｋ＞３，不定方程故当ｍ取１，２，…，ｋ时，０＜ｍ、ｎ＜ｒ．这ｋ，佗，ｌ＋Ｗ＋，Ｗ＝ｋ（ｍ＋ｎ＋ｒ），①组正整数解连同其轮换给出了方程④的３七嬲３七＋３【警】＋１组正整数解（ｍ，凡，ｒ），组不同的正整数解．

当ｍ－－一后（ｍｏｄ３）时，

收稿日期：２０１３—０７—２４ｋ２一ｋｍ＋ｍ２－ｋ２＋ｋ２＋ｋ２－－０（ｒｏｏｄ３）．令址ｔ＝詈（ｏ＜ｍ＜ｎ，（ｍ，ｎ）＝１）．则若存在ａ。＝Ｍ２（Ｍ∈Ｎ＋），则

２Ｍ４—２砰＋ｌ＝（Ｍ２）２＋（Ｊｌｆ２一１）２

铲㈦＝㈢＝云，也为完全平方数．

由勾股数性质知其等价于∥＋４广＝石２

有正整数解，再由无穷递降法导出矛盾．

其中，０＜ｒ＜ｍ，ｒ－ｎｐ＾（ｍｏｄｍ）．参考文献：

故｛钆｝的分母组成一个无穷递降的正整［１］第１８届北欧数学竞赛［Ｊ］．中等数学，２００５（增刊）．数数列，矛盾．［２］第３３届俄罗斯数学奥林匹克［Ｊ］．中等数学，２００７

（１１）．

４．证明：数列［３］第二届罗马尼亚大师杯数学竞赛［Ｊ］．中等数学，

２００９（６）．

。。＝了１［（１＋厄）２川＋（１一厄）２”１＋２］（ｎ＞１）［４］第三届罗马尼亚大师杯数学竞赛［Ｊ］．中等数学，中没有完全平方数．２０ｌＯ（６）．

［５］２００７－－２００８匈牙利数学奥林匹克［Ｊ］．中等数学。提示：反证法．２００９（增刊）．

万方数据

取，ｌ：忌一，ｎ＋３，ｒ：七一ｍ＋—ｋ２－ｋｍｉ—＋—一ｍ２

满足方程②，且ｍ取１，２，…，ｋ＋２中所有满足ｍ兰一ｋ（ｍｏｄ３）的整数时矿由此给出的Ｉｔ；，也

是整数

接下来证明：每组对应的（ｍ，ｎ，ｒ）满足

０＜ｍ、ｒｔ＜ｒ．

注意到，

怍拓一ｍ＋——广

，

ｋ２一ｋｍ＋ｍ２

＝睾［ｏ产一（ｊ｝＋３）ｍ＋＿｜｝２＋３矗］．

若ｋ＝４，则

｛ｍ，／＇ｇ卜｛２，５｝，

ｒ＝ｉ１Ｌｍ２—７ｍ＋２８）

＝÷（ｍ一２）（ｍ－５）＋６＝６；

否则，ｋ＞４，

ｒ＝爿（ｍ＿字）２＋÷ｍ１）（Ｍ）】

≥寺（¨１）（后＋３），

故ｒ一（｜ｊ｝＋３）≥寺（¨５）（后＋３）≥ｏ．

叉０＜ｍ、，ｌ＜ｋ＋３，从而，以上两种情形下均有０＜ｍ，ｎ≮’ｒ．

对于固定的五，ｍ￥ｋ取ｔ＋ｋ，２＋ｋ，…，

（ｋ＋２）＋五＝２ｋ＋２中所有３的倍数．

故以上ｍ的取法种数为

ｚ三［竽卜【钉

『【字】－ｌ，㈣（ｍ。ｄ３）；ｉ，４１．２．｜｝量１，２（ｍｏｄ３）．‘

、注意到，此时ｔａｒｔ＋ｎ＝ｋ＋３．

因此，这ｌ组解连同其轮换所给出的方程①的３Ｚ组正整数解不同于前面给出的３后组正整数解．

显然，ｒａ＝ｎ＝ｒ＝ｋ为方程①的另一组正

万方数据

中等数学

整数解．

当ｋｍｌ，２（ｍｏｄ３）时，已经得到方程①的

３五＋３１＋１＝３Ⅲ【字】＋ｌ

组正整数解．

下设ｋ－Ｏ（ｍｏｄ３）．当ｋ＝９时，

｛ｍ，，ｌ，ｒ｝＝｛３，１３，１５｝

给出了方程①的６组新的正整数解．

当五三０（ｍｏｄ３），且ｋ＃９时，

…Ｖ｝＝∽钳

也给出了方程①的６组新的正整数解．

两种情形下方程①均至少有

３矗捌＋ｌ＋６＝３ｋ＋３【字】＋４

组正整数解．

综上，命题成立．

【注】用反证法不难得出方程①的正整

数解满足

ｍｉｎ｛ｍ，ｎ，ｒ｝≤缸

当ｋ＝５时，不妨设ｍｉｎ｛ｍ，ｎ，ｒ｝＝ｍ，并将ｍ＝１，２，…，５分别代人方程②，解出ｎ、ｒ．

再结合ｍ、凡、ｒ的对称性，便能得到方程①的所有正整数解，共２５组；而此时

３后＋３【字】＋?＝巧．

可见，命题中正整数解的组数的下界可

以达到．

问题命题中当ｋ为何值时，所述下界

可以达到？

从以上证明不难得出，命题中正整数解的组数达到所述下界，当且仅当ｍ＝１，２，…，

ｋ一１时，ｋ２一枷＋ｍ２均为素数或素数的３倍

（证明从略）．

当ｋ。＜１００时，符合条件的ｋ只有５和７．

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一道数学竞赛题的加强作者：

作者单位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：袁汉辉华南师范大学数学科学学院,510631中等数学High-School Mathematics2013(9)

本文链接：http://wendang.chazidian.com/Periodical_zdsx201309002.aspx

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