高中数学竞赛讲座 06平面几何四个重要定理

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高中数学竞赛讲座 06平面几何四个重要定理

竞赛专题讲座06

－平面几何四个重要定理

四个重要定理：

梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）

△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、

R共线的充要条件是

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塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）

。

△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的

充要条件是

托勒密(Ptolemy)定理

。

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

例题：

1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F

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。求证：

。

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【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）

【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。

2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。

求证：。

【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。

DEG截△ABM→（梅氏定理）

DGF截△ACM→（梅氏定理）

∴

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===1

【评注】梅氏定理

3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，

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，AD、BE、CF交成△LMN。

求S△LMN。

【分析】

【评注】梅氏定理

4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。

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【分析】

【评注】塞瓦定理

5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC=AB+AB·BC。【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则

CD=DA=AB，AC=BD。

由托勒密定理，

AC·BD=AD·BC+CD·AB。

【评注】托勒密定理

6．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。

求证：【分析】

【评注】托勒密定理

。（第21届全苏数学竞赛）

7． △ABC的BC边上的高AD的延长线交

外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。

求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。【分析】

【评注】西姆松定理（西姆松线）

8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。求k。（23-IMO-5）

【分析】【评注】面积法

9． O为△ABC内一点，分别以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距离，以Ra、Rb、

Rc表示O到A、B、C的距离。

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求证：（1）a·Ra≥b·db+c·dc; (2) a·Ra≥c·db+b·dc; (3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。【分析】

【评注】面积法

10．△ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。

求证：H、G、O三点共线，且HG=2GO。（欧拉线）

【分析】

【评注】同一法

11．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BM、BN三等分∠ABC，与AD相交于M、N，延长CM交AB于E。求证：MB//NE。

【分析】

【评注】对称变换

12．G是△ABC的重心，以AG为弦作圆切BG于G，延长CG交圆

于D。求证：AG=GC·GD。

【分析】

【评注】平移变换

13．C是直径AB=2的⊙O上一点，P在△ABC内，若

PA+PB+PC的最小值是，求此时△ABC的面积S。

【分析】

【评注】旋转变换

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费马点：

已知O是△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O为费马点）

【分析】将CC‘，OO’， PP‘，连结OO’、PP‘。

则△B OO’、△B PP‘都是正三角形。

∴OO’=OB，PP‘=PB。显然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四点共线。 ∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。

14．(95全国竞赛) 菱形ABCD的内切圆O与各边

分别交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分别作⊙O的切线交AB、BC、CD、DA分别于M、N、P、Q。求证：MQ//NP。

【分析】由AB∥CD知：要证MQ∥NP，只需证

∠AMQ=∠CPN，

结合∠A=∠C知，只需证 △AMQ∽△CPN

←，AM·CN=AQ·CP。

连结AC、BD，其交点为内切圆心O。设MN与⊙O切于K，连结OE、OM、OK、ON、OF。

记∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，则

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