2017届高考理科数学二轮复习训练:1-1-3 基本初等函数、函数与方程及函数的应用(解析参考)
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2017届高考理科数学二轮复习训练:1-1-3 基本初等函数、函数与方程及函数的应用(解析参考)
一、选择题
1.[2015·石家庄二模]下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是( )
A.y=2-|x| B.y=tanx
C.y=x3 D.y=log2x
答案 C
解析 只有B、C选项符合奇函数的定义,在定义域上单调递增的只有C,故选C.
2.[2015·太原一模]已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
答案 B
解析 ∵a>1,0<b<1,f(x)=ax+x-b,∴f(-1)=a(1)-1-b<0,f(0)=1-b>0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.
3.[2015·陕西质检(一)]已知函数f(x)=πx和函数g(x)=sin4x,若f(x)的反函数为h(x),则h(x)与g(x)的图象的交点个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.0
答案 C
解析 ∵f(x)=πx,∴h(x)=logπx,作出h(x),g(x)的图象可知有3个交点,故选C.
4.[2015·郑州质量预测(一)]设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则( )
A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
答案 A
解析 依题意,f(0)=-3<0,f(1)=e-2>0,且函数f(x)是增函数,因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内,即0<a<1.g(1)=-3<0,g(2)=ln 2+3>0,函数g(x)的零点在区间(1,2)内,即1<b<2,于是有f(b)>f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数,因此有g(a)<g(1)<0,g(a)<0<f(b),选A.
5.已知a=32(1)2(1),b=log132(1),c=log23(1),则( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
答案 A
解析 ∵a=32(1)2(1)>1,0<b=log132(1)=log32<1,c=log23(1)<0,∴a>b>c,故选A.
6.[2015·重庆高考]“x>1”是“log12 (x+2)<0”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由log12 (x+2)<0,得x+2>1,解得x>-1,所以“x>1”是“log12 (x+2)<0”的充分而不必要条件,故选B.
7.[2015·郑州质量预测(二)]已知函数f(x)=x2+6x+3,x≤a(x+3,x>a),函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,3) B.[-3,-1]
C.[-3,3) D.[-1,1)
答案 A
解析 因为f(x)=x2+6x+3,x≤a(x+3,x>a),所以g(x)=x2+4x+3,x≤a(3-x,x>a),又因为g(x)有三个不同的零点,则方程3-x=0,x>a有一个解,解得x=3,所以a<3,方程x2+4x+3=0,x≤a有两个不同的解,解得x=-1或x=-3,又因为x≤a,所以a≥-1.所以a的取值范围为[-1,3).
8.已知函数f(x)=x2+2x+1-2x,则y=f(x)的图象大致为( )
答案 A
解析 f(x)=x2+2x+1-2x=(x+1)2-2x,令g(x)=(x+1)2,h(x)=2x,则f(x)=g(x)-h(x),在同一坐标系下作出两个函数的简图,根据函数图象的变化趋势可以发现g(x)与h(x)的图象共有三个交点,其横坐标从小到大依次设为x1,x2,x3,在区间(-∞,x1)上有g(x)>h(x),即f(x)>0;在区间(x1,x2)上有g(x)<h(x),即f(x)<0;在区间(x2,x3)上有g(x)>h(x),即f(x)>0;在区间(x3,+∞)上有g(x)<h(x),即f(x)<0.故选A.
9.[2015·山西质量预测]若关于x的不等式4ax-1<3x-4(a>0,且a≠1)对于任意的x>2恒成立,则a的取值范围为( )
A.2(1) B.2(1)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
答案 B
解析 不等式4ax-1<3x-4等价于ax-1<4(3)x-1.令f(x)=ax-1,g(x)=4(3)x-1,当a>1时,在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图1所示,由图知不满足条件;当0<a<1时,在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图2所示,由题意知,f(2)≤g(2),即a2-1≤4(3)×2-1,即a≤2(1),所以a的取值范围是2(1),故选B.
10.[2015·江南十校联考]已知函数f(x)=asinx-2(1)cos2x+a-a(3)+2(1)(a∈R,a≠0),若对任意x∈R都有f(x)≤0,则a的取值范围是( )
A.,0(3) B.[-1,0)∪(0,1]
C.(0,1] D.[1,3]
答案 C
解析 化简函数得f(x)=sin2x+asinx+a-a(3),令t=sinx(-1≤t≤1),则g(t)=t2+at+a-a(3),问题转化为使g(t)在[-1,1]上恒有g(t)≤0,
即≤0,(3)解得0<a≤1,故选C.
二、填空题
11.已知g(x)=-x2-4,f(x)为二次函数,满足f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=0,且f(x)在[-1,2]上的最大值为7,则f(x)=________.
答案 f(x)=x2-2x+4或f(x)=x2-2(1)x+4
解析 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则由题意可得f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=2ax2+2c-2x2-8=0,得a=1,c=4.显然二次函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值只能在x=-1时或x=2时取得.当x=-1函数取得最大值7时,解得b=-2;当x=2函数取得最大值7时,解得b=-2(1),所以f(x)=x2-2x+4或f(x)=x2-2(1)x+4.
12.[2015·山西质监]已知函数f(x)=log2(x-m),x>1(|2x+1|,x<1),若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),且x1+x2+x3的取值范围为(1,8),则实数m的值为________.
答案 1
解析 作出f(x)的图象,如图所示,可令x1<x2<x3,则由图知点(x1,0),(x2,0)关于直线x=-2(1)对称,所以x1+x2=-1.又1<x1+x2+x3<8,所以2<x3<9.由f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),结合图象可知点A的坐标为(9,3),代入函数解析式,得3=log2(9-m),解得m=1.
13.若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则a(1)+b(1)的值为________.
答案 108
解析 设2+log2a=3+log3b=log6(a+b)=k,可得a=2k-2,b=3k-3,a+b=6k,所以a(1)+b(1)=ab(a+b)=2k-23k-3(6k)=108.所以应填108.
14.[2015·南昌一模]已知函数f(x)=lg x,x>0(,x≤0),若关于x的方程f(f(x))=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为________.
答案 (-1,0)∪(0,+∞)
解析 (1)若a=0,则f(x)=lg x,x>0(0,x≤0),此时关于x的方程f(f(x))=0有无数个解,即a=0不合题意.
(2)若a<0,当x≤0时,x-1(a)≠0,
所以由f(f(x))=0,得lg f(x)=0,即f(x)=1,
又当x>0时,由f(x)=1得x=10,即x=10是方程f(f(x))=0的一个解,
根据题意知当x≤0时,关于x的方程f(x)=1无解,即x-1(a)≠1,即a≠x-1.
而当x≤0时,x-1≤-1,所以-1<a<0符合题意.
(3)若a>0,当x≤0时,x-1(a)≠0,
所以由f(x)=1得x=10,即x=10是方程f(f(x))=0的一个解,
根据题意知当x≤0时,关于x的方程f(x)=1无解,即x-1(a)≠1,即a≠x-1,
而当x≤0时,x-1≤-1,所以a>0符合题意.
综上所述,所求实数a的取值范围为-1<a<0或a>0.
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