2017届高考理科数学二轮复习训练：1-1-3 基本初等函数、函数与方程及函数的应用（解析参考）

一、选择题

1．[2015·石家庄二模]下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是(  )

A．y＝2^－|x|    B．y＝tanx

C．y＝x³    D．y＝log₂x

答案 C

解析 只有B、C选项符合奇函数的定义，在定义域上单调递增的只有C，故选C.

2．[2015·太原一模]已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a^x＋x－b的零点所在的区间是(  ) 

A．(－2，－1)    B．(－1,0)

C．(0,1)    D．(1,2)

答案 B

解析 ∵a>1,0<b<1，f(x)＝a^x＋x－b，∴f(－1)＝a(1)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．

3．[2015·陕西质检(一)]已知函数f(x)＝π^x和函数g(x)＝sin4x，若f(x)的反函数为h(x)，则h(x)与g(x)的图象的交点个数为(  ) 

A．1    B．2

C．3    D．0

答案 C

解析 ∵f(x)＝π^x，∴h(x)＝log_πx，作出h(x)，g(x)的图象可知有3个交点，故选C.

4．[2015·郑州质量预测(一)]设函数f(x)＝e^x＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x²－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则(  )

A．g(a)<0<f(b)    B．f(b)<0<g(a)

C．0<g(a)<f(b)    D．f(b)<g(a)<0

答案 A

解析 依题意，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0<a<1.g(1)＝－3<0，g(2)＝ln 2＋3>0，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1<b<2，于是有f(b)>f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)<g(1)<0，g(a)<0<f(b)，选A.

5．已知a＝32(1)2(1)，b＝log132(1)，c＝log₂3(1)，则(  )

A．a>b>c    B．b>c>a

C．c>b>a    D．b>a>c

答案 A

解析 ∵a＝32(1)2(1)>1,0<b＝log132(1)＝log₃2<1，c＝log₂3(1)<0，∴a>b>c，故选A.

6．[2015·重庆高考]“x>1”是“log12 (x＋2)<0”的(  )

A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析 由log12 (x＋2)<0，得x＋2>1，解得x>－1，所以“x>1”是“log12 (x＋2)<0”的充分而不必要条件，故选B.

7．[2015·郑州质量预测(二)]已知函数f(x)＝x2＋6x＋3，x≤a(x＋3，x>a)，函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(  )

A．[－1,3)    B．[－3，－1]

C．[－3,3)    D．[－1,1)

答案 A

解析 因为f(x)＝x2＋6x＋3，x≤a(x＋3，x>a)，所以g(x)＝x2＋4x＋3，x≤a(3－x，x>a)，又因为g(x)有三个不同的零点，则方程3－x＝0，x>a有一个解，解得x＝3，所以a<3，方程x²＋4x＋3＝0，x≤a有两个不同的解，解得x＝－1或x＝－3，又因为x≤a，所以a≥－1.所以a的取值范围为[－1,3)．

8．已知函数f(x)＝x²＋2x＋1－2^x，则y＝f(x)的图象大致为(  )

答案 A

解析 f(x)＝x²＋2x＋1－2^x＝(x＋1)²－2^x，令g(x)＝(x＋1)²，h(x)＝2^x，则f(x)＝g(x)－h(x)，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g(x)与h(x)的图象共有三个交点，其横坐标从小到大依次设为x₁，x₂，x₃，在区间(－∞，x₁)上有g(x)>h(x)，即f(x)>0；在区间(x₁，x₂)上有g(x)<h(x)，即f(x)<0；在区间(x₂，x₃)上有g(x)>h(x)，即f(x)>0；在区间(x₃，＋∞)上有g(x)<h(x)，即f(x)<0.故选A.

9．[2015·山西质量预测]若关于x的不等式4a^x－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为(  )

A.2(1)    B.2(1)

C．[2，＋∞)    D．(2，＋∞)

答案 B

解析 不等式4a^x－1<3x－4等价于a^x－1<4(3)x－1.令f(x)＝a^x－1，g(x)＝4(3)x－1，当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0<a<1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，由题意知，f(2)≤g(2)，即a^2－1≤4(3)×2－1，即a≤2(1)，所以a的取值范围是2(1)，故选B.

10．[2015·江南十校联考]已知函数f(x)＝asinx－2(1)cos2x＋a－a(3)＋2(1)(a∈R，a≠0)，若对任意x∈R都有f(x)≤0，则a的取值范围是(  )

A.，0(3)    B．[－1,0)∪(0,1]

C．(0,1]    D．[1,3]

答案 C

解析 化简函数得f(x)＝sin²x＋asinx＋a－a(3)，令t＝sinx(－1≤t≤1)，则g(t)＝t²＋at＋a－a(3)，问题转化为使g(t)在[－1,1]上恒有g(t)≤0，

即≤0，(3)解得0<a≤1，故选C.

二、填空题

11．已知g(x)＝－x²－4，f(x)为二次函数，满足f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝0，且f(x)在[－1,2]上的最大值为7，则f(x)＝________.

答案 f(x)＝x²－2x＋4或f(x)＝x²－2(1)x＋4

解析 设f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，则由题意可得f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝2ax²＋2c－2x²－8＝0，得a＝1，c＝4.显然二次函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值只能在x＝－1时或x＝2时取得．当x＝－1函数取得最大值7时，解得b＝－2；当x＝2函数取得最大值7时，解得b＝－2(1)，所以f(x)＝x²－2x＋4或f(x)＝x²－2(1)x＋4.

12．[2015·山西质监]已知函数f(x)＝log2(x－m)，x>1(|2x＋1|，x<1)，若f(x₁)＝f(x₂)＝f(x₃)(x₁，x₂，x₃互不相等)，且x₁＋x₂＋x₃的取值范围为(1,8)，则实数m的值为________．

答案 1

解析 作出f(x)的图象，如图所示，可令x₁<x₂<x₃，则由图知点(x_1,0)，(x_2,0)关于直线x＝－2(1)对称，所以x₁＋x₂＝－1.又1<x₁＋x₂＋x₃<8，所以2<x₃<9.由f(x₁)＝f(x₂)＝f(x₃)(x₁，x₂，x₃互不相等)，结合图象可知点A的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log₂(9－m)，解得m＝1.

13．若正数a，b满足2＋log₂a＝3＋log₃b＝log₆(a＋b)，则a(1)＋b(1)的值为________．

答案 108

解析 设2＋log₂a＝3＋log₃b＝log₆(a＋b)＝k，可得a＝2^k－2，b＝3^k－3，a＋b＝6^k，所以a(1)＋b(1)＝ab(a＋b)＝2k－23k－3(6k)＝108.所以应填108.

14．[2015·南昌一模]已知函数f(x)＝lg x，x>0(，x≤0)，若关于x的方程f(f(x))＝0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为________．

答案 (－1,0)∪(0，＋∞)

解析 (1)若a＝0，则f(x)＝lg x，x>0(0，x≤0)，此时关于x的方程f(f(x))＝0有无数个解，即a＝0不合题意．

(2)若a<0，当x≤0时，x－1(a)≠0，

所以由f(f(x))＝0，得lg f(x)＝0，即f(x)＝1，

又当x>0时，由f(x)＝1得x＝10，即x＝10是方程f(f(x))＝0的一个解，

根据题意知当x≤0时，关于x的方程f(x)＝1无解，即x－1(a)≠1，即a≠x－1.

而当x≤0时，x－1≤－1，所以－1<a<0符合题意．

(3)若a>0，当x≤0时，x－1(a)≠0，

所以由f(x)＝1得x＝10，即x＝10是方程f(f(x))＝0的一个解，

根据题意知当x≤0时，关于x的方程f(x)＝1无解，即x－1(a)≠1，即a≠x－1，

而当x≤0时，x－1≤－1，所以a>0符合题意．

综上所述，所求实数a的取值范围为－1<a<0或a>0.