2017届高考理科数学二轮复习训练：1-1-4 不等式、线性规划（解析参考）

一、选择题

1．已知集合A＝{x|x²－x<0}，集合B＝{x|2^x<4}，则“x∈A”是“x∈B”的(  )

A．充分且不必要条件    B．必要且不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 ∵A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x<2}，∴“x∈A”可以推出“x∈B”；在集合B中取元素－1，则－1∉A，∴“x∈B”不能推出“x∈A”．故选A.

2．设非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(  )

A.a(1)>b(1)    B．ab<b²

C．a＋b>0    D．a－b<0

答案 D

解析 令a＝－1，b＝1，经检验A、C都不成立，排除A、C；令a＝－3，b＝－2，经检验B不成立，排除B，故选D.

3．[2015·烟台一模]若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(  )

A．a≥2    B．a≤2

C．a≥－2    D．a≤－2

答案 A

解析 因为|x|≤2，则p：－2≤x≤2，q：x≤a，由于p是q的充分不必要条件，则p对应的集合是q对应的集合的真子集，所以a≥2，选A.

4．[2015·江西八校联考]已知O为坐标原点，点M的坐标为(－2,1)，在平面区域y≥0(x＋y≤2)上取一点N，则使|MN|取得最小值时，点N的坐标是(  )

A．(0,0)    B．(0,1)

C．(0,2)    D．(2,0)

答案 B

解析 作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，当MN⊥y轴时，|MN|取到最小值，即N(0,1)．

5．[2015·南昌一模]已知实数x，y满足y≥m(x＋y－4≤0)，若目标函数z＝2x＋y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为(  )

A．4    B．3

C．2    D．－2(1)

答案 C

解析 y≥m(x＋y－4≤0)表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l₀：2x＋y＝0向上平移至过点A，B时，z＝2x＋y分别取得最小值与最大值．由y＝m(x＋1－y＝0)得A(m－1，m)，由y＝m(x＋y－4＝0)得B(4－m，m)，所以z_min＝2(m－1)＋m＝3m－2，z_max＝2(4－m)＋m＝8－m，所以z_max－z_min＝8－m－(3m－2)＝2，解得m＝2.

6．[2015·福建高考]若直线a(x)＋b(y)＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(  )

A．2    B．3

C．4    D．5

答案 C

解析 解法一：因为直线a(x)＋b(y)＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以a(1)＋b(1)＝1，所以1＝a(1)＋b(1)≥2b(1)＝ab(2)(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以≥2.又a＋b≥2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以a＋b≥4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选C.

解法二：因为直线a(x)＋b(y)＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以a(1)＋b(1)＝1，所以a＋b＝(a＋b)b(1)＝2＋b(a)＋a(b)≥2＋2 a(b)＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选C.

7．[2015·兰州诊断]已知不等式组y≥0(x－y≥－1)所表示的平面区域为D，若直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为(  )

A．[－3,3]

B.3(1)∪，＋∞(1)

C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

D.3(1)

答案 C

解析 满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线y＝kx－3过定点(0，－3)，所以当y＝kx－3过点C(1,0)时，k＝3；当y＝kx－3过点B(－1,0)时，k＝－3，所以k≤－3或k≥3时，直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，故选C.

8．[2015·河北省名校联盟监测(二)]函数y＝log_a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，则m(2)＋n(1)的最小值为(  )

A．2    B．4

C.2(5)    D.2(9)

答案 D

解析 由函数y＝log_a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的解析式知：当x＝－2时，y＝－1，所以A点的坐标为(－2，－1)，又因为点A在直线mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，所以m(2)＋n(1)＝m(2m＋n)＋2n(2m＋n)＝2＋m(n)＋n(m)＋2(1)≥2(5)＋2＝2(9)，当且仅当m＝n＝3(2)时等号成立．所以m(2)＋n(1)的最小值为2(9)，故选D.

9．[2015·九江一模]若实数x，y满足|x－3|≤y≤1，则z＝x＋y(2x＋y)的最小值为(  )

A.3(5)    B．2

C.5(3)    D.2(1)

答案 A

解析 依题意，得实数x，y满足0≤y≤1(x－y－3≤0)，画出可行域如图阴影部分所示，其中A(3,0)，C(2,1)，z＝x(y)＝1＋x(y)∈，2(5)，故选A.

10．若不等式t2＋9(t)≤a≤t2(t＋2)在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是(  )

A.，1(1)    B.2(1)

C.13(4)    D.，1(2)

答案 D

解析 t2＋9(t)＝t(9)，而y＝t＋t(9)在(0,2]上单调递减，故t＋t(9)≥2＋2(9)＝2(13)，t2＋9(t)＝t(9)≤13(2)(当且仅当t＝2时等号成立)，t2(t＋2)＝t(1)＋t2(2)＝24(1)²－8(1)，因为t(1)≥2(1)，所以t2(t＋2)＝t(1)＋t2(2)＝24(1)²－8(1)≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围为，1(2).

二、填空题

11．[2014·福建高考]要制作一个容积为4 m³，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．

答案 160

解析 设底面边长x m，宽y m，则x×y×1＝4，∴xy＝4，设造价为z，∴z＝20xy＋10×2(x＋y)＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×2＝160(元)，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．

12．[2015·陕西质检(二)]若方程x²＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则a－1(b－2)的取值范围是________．

答案 ，1(1)

解析 令f(x)＝x²＋ax＋2b，∵方程x²＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴f(2)>0(f(1)<0)，

∴a＋b>－2(a＋2b<－1.)根据约束条件作出可行域，可知4(1)<a－1(b－2)<1.

13．[2015·辽宁五校联考]设实数x，y满足约束条件y≥0(x≥0)，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为10，则a²＋b²的最小值为________．

答案 13(25)

解析 因为a>0，b>0，所以由可行域得，当目标函数z＝ax＋by过点(4,6)时取最大值，则4a＋6b＝10.a²＋b²的几何意义是直线4a＋6b＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么最小值是点(0,0)到直线4a＋6b＝10距离的平方，即a²＋b²的最小值是13(25).

14．[2015·江西八校联考]已知点P(x，y)到A(0,4)和B(－2，0)的距离相等，则2^x＋4^y的最小值为________．

答案 4

解析 由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x＋2y＝3，

∴2^x＋4^y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝2(3)时，即x＝2(3)，y＝4(3)时等号成立，故2^x＋4^y的最小值为4.