教育资源为主的文档平台

当前位置: 查字典文档网> 所有文档分类> 高中教育> 高中数学> 2017届高考理科数学二轮复习训练:1-1-6-1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题(解析参考)

2017届高考理科数学二轮复习训练:1-1-6-1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题(解析参考)

1[2015·潍坊一模]已知函数f(x)xx(1)aln x.

 (1)f(x)无极值点,求a的取值范围;

(2)g(x)xx(1)(ln x)a,当a(1)中的最大值时,求g(x)的最小值.

解 (1)由题意f′(x)1x2(1)x(a)x2(x2-ax+1).

由于f(x)无极值点,故x2ax1≥0(0,+∞)恒成立,

axx(1)x∈(0,+∞)恒成立,

xx(1)≥2(x1取等号),故x(1)min2

a≤2.

(2)a2g(x)xx(1)(ln x)2

g′(x)1x2(1)2ln x·x(1)x2(x2-2xln x-1).

k(x)x22xln x1.

k′(x)2x2ln x22(x1ln x)

下面证明:ln xx1,设m(x)ln xx1m′(x)x(1)1x(1-x)

x∈(0,1)时,m′(x)>0m(x)单调递增,

x∈(1,+∞)时,m′(x)<0m(x)单调递减,

m(x)≤m(1)0,即ln xx1

k′(x)≥0,故k(x)(0,+∞)单调递增,

k(1)0,所以:

x∈(0,1)时,k(x)<0g′(x)<0g(x)单调递减,

x∈(1,+∞)时,k(x)>0g′(x)>0g(x)单调递增,

g(x)≥g(1)2

g(x)的最小值为2.

2[2015·太原一模]已知函数f(x)(x2axa)exx2aR.

(1)若函数f(x)(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;

(2)若函数f(x)x0处取得极小值,求a的取值范围.

解 (1)由题意得f′(x)x[(x2a)ex2]xex(x2ex(2)a)xR

f(x)(0,+∞)上单调递增,f′(x)≥0(0,+∞)上恒成立,

x2ex(2)≥a(0,+∞)上恒成立,

又函数g(x)x2ex(2)(0,+∞)上单调递增,

ag(0)0

a的取值范围是(0]

(2)(1)f′(x)xex-a(2)xR

f′(x)0,则x0x2ex(2)a0,即x0g(x)a

g(x)x2ex(2)(,+∞)上单调递增,其值域为R

存在唯一x0R,使得g(x0)a

x0>0,当x∈(0)时,g(x)<af′(x)>0;当x∈(0x0)时,g(x)<af′(x)<0f(x)x0处取得极大值,这与题设矛盾.

x00,当x∈(0)时,g(x)<af′(x)>0;当x∈(0,+∞)时,g(x)>af′(x)>0f(x)x0处不取极值,这与题设矛盾.

x0<0,当x∈(x0,0)时,g(x)>af′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g(x)>af′(x)>0f(x)x0处取得极小值.

综上所述,x0<0ag(x0)<g(0)0

a的取值范围是(0)

3[2015·江西八校联考]设函数f(x)ex((1-a)x2-ax+a).

(1)a1时,求曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线方程;

(2)x≥0时,f(x)的最大值为a,求a的取值范围.

解 (1)a1时,f(x)ex(-x+1)f(1)0

f′(x)ex(x-2)f′(1)=-e(1)

曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线方程为xey10.

(2)解法一:f′(x)ex((a-1)x2+(2-a)x-2a)

ex([(a-1)x+a](x-2)).

f′(x)0x11-a(a)(a≠1)x22.

a≥1时,f(x)[0,2]上递减,在[2,+∞)上递增,

x时,f(x)→0

f(x)maxf(0)a

1-a(a)>23(2)<a<1时,f(x)[0,2],+∞(a)上递减,f(x)1-a(a)上递增,

f1-a(a)1-a(a)≤a,解得0≤a≤1∴3(2)<a<1

1-a(a)2,即a3(2)时,f(x)[0,+∞)上递减,f(x)maxf(0)a

0<1-a(a)<20<a<3(2)时,f(x)1-a(a)[2,+∞)上递减,在,2(a)上递增,

f(2)e2(4-5a)≤a,解得a≥e2+5(4)∴e2+5(4)≤a<3(2)

a≤0时,1-a(a)≤0f(x)[0,2]上递增,f(x)≥f(0)a,不合题意.

综上所述:a的取值范围为,+∞(4).

解法二:f(0)a

f(x)x≥0时的最大值为a,等价于f(x)≤a对于x≥0恒成立,

可化为a≥ex+x2+x-1(x2)对于x≥0恒成立.

g(x)ex+x2+x-1(x2),则g′(x)(ex+x2+x-1)2(x(x-2)(1-ex))

于是g(x)[0,2]上递增,在(2,+∞)上递减,

g(x)maxg(2)e2+5(4)

a的取值范围是a≥e2+5(4).

4[2015·山西质量监测]已知函数f(x)ln (x1)x+1(ax)xaR.

(1)a>0时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若存在x>0,使f(x)x1<x+1(x)(aZ)成立,求a的最小值.

解 (1)f′(x)(x+1)2(-x2-x-a)x>1.

a≥4(1)时,f′(x)≤0f(x)(1,+∞)上单调递减.

0<a<4(1)时,

当-1<x<2(1-4a)时,f′(x)<0f(x)单调递减;

2(1-4a)<x<2(1-4a)时,f′(x)>0f(x)单调递增;

x>2(1-4a)时,f′(x)<0f(x)单调递减.

综上,当a≥4(1)时,f(x)的单调递减区间为(1,+∞)

0<a<4(1)时,f(x)的单调递减区间为2(1-4a),+∞(1-4a)

f(x)的单调递增区间为1-4a().

(2)原式等价于ax>(x1)ln (x1)2x1

即存在x>0,使a>x((x+1)ln (x+1)+2x+1)成立.

g(x)x((x+1)ln (x+1)+2x+1)x>0

g′(x)x2(x-1-ln (x+1))x>0

h(x)x1ln (x1)x>0

h′(x)1x+1(1)>0h(x)(0,+∞)上单调递增.

h(2)<0h(3)>0,根据零点存在性定理,可知h(x)(0,+∞)上有唯一零点,设该零点为x0,则x01ln (x01),且x0∈(2,3)

g(x)minx0((x0+1)(x0-1)+2x0+1)x02.

a>x02aZa的最小值为5.

5.已知函数f(x)xaln x1.

 (1)aR时,求函数f(x)的单调区间;

(2)f(x)2x(ln x)≥0对于任意x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范围.

解 (1)f(x)xaln x1,得f′(x)1x(a)x(x+a)

a≥0时,f′(x)>0f(x)(0,+∞)上为增函数,

a<0时,当0<x<a时,f′(x)<0,当x>a时,f′(x)>0

所以f(x)(0,-a)上为减函数,f(x)(a,+∞)上为增函数.

(2)由题意知xaln x12x(ln x)≥0x∈[1,+∞)恒成立,

g(x)xaln x2x(ln x)1x∈[1,+∞)

g′(x)1x(a)2x2(1-ln x)2x2(2x2+2ax+1-ln x)x∈[1,+∞)

h(x)2x22ax1ln x,则h′(x)4xx(1)2a

a≥0时,4xx(1)为增函数,所以h′(x)≥2(3)a>0

所以g(x)[1,+∞)上单调递增,g(x)≥g(1)0

当-2(3)≤a<0时,h′(x)≥2(3)a≥0

所以g(x)[1,+∞)上单调递增,g(x)≥g(1)0

a<2(3)时,当x∈2(2a+1)时,2a1<2x

(1)知,当a=-1时,xln x1≥0ln xx1

ln x≤x(1)1h(x)2x22axln x1≤2x22axx(1)≤2x22axx2x2(2a1)x<0

此时g′(x)<0,所以g(x)2(2a+1)上单调递减,在2(2a+1)上,g(x)<g(1)0,不符合题意.

综上所述a2(3).

6[2015·大连高三双基测试]已知函数f(x)xeax(a>0)

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)求函数f(x)a(2)上的最大值;

(3)若存在x1x2(x1<x2),使得f(x1)f(x2)0,证明:x2(x1)<ae.

解 (1)f(x)xeax(a>0),则f′(x)1aeax

f′(x)1aeax0,则xa(1)ln  a(1).

x变化时,f′(x)f(x)的变化情况如下表:

x

a(1)

a(1)ln a(1)

,+∞(1)

f(x)

0

f(x)

极大值

故函数f(x)的增区间为a(1);减区间为,+∞(1).

(2)a(1)lna(1)≥a(2),即0<a≤e2(1)时,f(x)a(2)上单调递增,f(x)maxfa(2)a(2)e2

a(1)<a(1)lna(1)<a(2),即e2(1)<a<e(1)时,f(x)a(1)上单调递增,在a(2)上单调递减,f(x)maxfa(1)a(1)lna(1)a(1)

a(1)lna(1)≤a(1),即a≥e(1)时,f(x)a(2)上单调递减,f(x)maxfa(1)a(1)e.

(3)证明:若函数f(x)有两个零点,则fa(1)a(1)lna(1)a(1)>0,即a<e(1)

而此时,fa(1)a(1)e>0,由此可得x1<a(1)<a(1)lna(1)<x2

x2x1>a(1)lna(1)a(1),即x1x2<a(1)a(1)

f(x1)x1eax10f(x2)x2eax20

∴x2(x1)eax2(eax1)eax1ax2ea(x1x2)<eaa(1)eln (ae)ae.

 

版权声明:此文档由查字典文档网用户提供,如用于商业用途请与作者联系,查字典文档网保持最终解释权!

下载文档

热门试卷

2016年四川省内江市中考化学试卷
广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
山东省滨州市三校2017届第一学期阶段测试初三英语试题
四川省成都七中2017届高三一诊模拟考试文科综合试卷
2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(附答案)
重庆市永川中学高2017级上期12月月考语文试题
江西宜春三中2017届高三第一学期第二次月考文科综合试题
内蒙古赤峰二中2017届高三上学期第三次月考英语试题
2017年六年级(上)数学期末考试卷
2017人教版小学英语三年级上期末笔试题
江苏省常州西藏民族中学2016-2017学年九年级思想品德第一学期第二次阶段测试试卷
重庆市九龙坡区七校2016-2017学年上期八年级素质测查(二)语文学科试题卷
江苏省无锡市钱桥中学2016年12月八年级语文阶段性测试卷
江苏省无锡市钱桥中学2016-2017学年七年级英语12月阶段检测试卷
山东省邹城市第八中学2016-2017学年八年级12月物理第4章试题(无答案)
【人教版】河北省2015-2016学年度九年级上期末语文试题卷(附答案)
四川省简阳市阳安中学2016年12月高二月考英语试卷
四川省成都龙泉中学高三上学期2016年12月月考试题文科综合能力测试
安徽省滁州中学2016—2017学年度第一学期12月月考​高三英语试卷
山东省武城县第二中学2016.12高一年级上学期第二次月考历史试题(必修一第四、五单元)
福建省四地六校联考2016-2017学年上学期第三次月考高三化学试卷
甘肃省武威第二十三中学2016—2017学年度八年级第一学期12月月考生物试卷

网友关注

2011年国家公考《行测》模拟试卷(一)含答案及解析
2007年浙江省公务员考试《申论》真题
2011年国家公考《行测》模拟试卷(七)含答案及解析
2009年浙江省各级机关公务员考试《申论》真题
2011年浙江省公务员考试申论真题特点分析
2009年公务员考试面试模拟试题(四)
2008年浙江公务员考试面试真题解析
2009年公务员考试面试模拟试题(五)
2011年国家公考《行测》模拟试卷(二)含答案及解析
2006年浙江省公务员录用考试面试真题含参考答案
2011年国家公考《行测》模拟试卷(八)含答案及解析
2009年浙江省公务员考试《行测》真题参考答案
2010年浙江省各级机关公务员考试《申论》真题
2011年国家公考《行测》模拟试卷(十)含答案及解析
2011年国家公考《行测》模拟试卷(五)含答案及解析
2009年公务员考试面试模拟试题(七)
2011年浙江省考试录用公务员考试《申论》科目真题解读
2009年公务员考试面试模拟试题(二)
2010年浙江省公务员考试《行测》真题参考答案
2007年浙江省公务员考试《申论》真题参考答案
2007年浙江省公务员考试《行测B类》真题参考答案
2007年浙江省公务员考试《行测A类》真题参考答案
历年浙江公务员考试行政能力测验题型题量分析
2011浙江省公务员考试《行政职业能力测验》真题解读
2011年国家公考《行测》模拟试卷(四)含答案及解析
2008年浙江省公务员考试《行测》真题参考答案
2008年浙江省公务员考试《申论》真题
2007年浙江省公务员考试面试真题含解析
2011年国家公考《行测》模拟试卷(三)含答案及解析
浙江省录用公务员考试《行政职业能力测验》全真模拟试卷(含答案解析)

网友关注视频

六年级英语下册上海牛津版教材讲解 U1单词
沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 7
第4章 幂函数、指数函数和对数函数(下)_六 指数方程和对数方程_4.7 简单的指数方程_第一课时(沪教版高一下册)_T1566237
北师大版小学数学四年级下册第15课小数乘小数一
沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 12
【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
二年级下册数学第三课 搭一搭⚖⚖
【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
冀教版小学数学二年级下册第二单元《租船问题》
青岛版教材五年级下册第四单元(走进军营——方向与位置)用数对确定位置(一等奖)
外研版英语七年级下册module1unit3名词性物主代词讲解
小学英语单词
苏科版数学 八年级下册 第八章第二节 可能性的大小
第五单元 民族艺术的瑰宝_16. 形形色色的民族乐器_第一课时(岭南版六年级上册)_T1406126
冀教版小学数学二年级下册第二单元《余数和除数的关系》
北师大版八年级物理下册 第六章 常见的光学仪器(二)探究凸透镜成像的规律
【部编】人教版语文七年级下册《过松源晨炊漆公店(其五)》优质课教学视频+PPT课件+教案,江苏省
外研版英语七年级下册module3 unit1第二课时
二年级下册数学第二课
沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 4
8.练习八_第一课时(特等奖)(苏教版三年级上册)_T142692
第五单元 民族艺术的瑰宝_15. 多姿多彩的民族服饰_第二课时(市一等奖)(岭南版六年级上册)_T129830
冀教版英语四年级下册第二课
北师大版数学四年级下册3.4包装
第19课 我喜欢的鸟_第一课时(二等奖)(人美杨永善版二年级下册)_T644386
七年级英语下册 上海牛津版 Unit5
冀教版小学英语五年级下册lesson2教学视频(2)
沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 3
北师大版数学四年级下册第三单元第四节街心广场
河南省名校课堂七年级下册英语第一课(2020年2月10日)