2017届高考理科数学二轮复习训练：1-5-2 圆锥曲线的定义、方程与性质（参考解析）

一、选择题

1.[2015·唐山一模]已知抛物线的焦点F(a,0)(a<0)，则抛物线的标准方程是(  )

A.y²＝2ax    B．y²＝4ax

C.y²＝－2ax    D．y²＝－4ax

答案 B

解析 以F(a,0)为焦点的抛物线的标准方程为y²＝4ax.

2.[2015·陕西质检(一)]已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y²＝2px(p>0)的焦点，l与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为(  )

A.2(1)    B.2(3)

C.1    D．2

答案 B

解析 因为直线l过抛物线的焦点，所以m＝2(p).联立y2＝2px(＝0)得，x²－3px＋4(p2)＝0.设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝3p，故|AB|＝x₁＋x₂＋p＝4p＝6，p＝2(3)，故选B.

3.[2015·云南统测]已知F₁、F₂是双曲线M：4(y2)－m2(x2)＝1的焦点，y＝5(5)x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于4(3)的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，设|PF₁|·|PF₂|＝n，则(  )

A.n＝12    B．n＝24

C.n＝36    D．n≠12且n≠24且n≠36

答案 A

解析 由题意易得，双曲线的方程为4(y2)－5(x2)＝1，椭圆的方程为7(x2)＋16(y2)＝1，不妨设|PF₁|>|PF₂|，从而可知|PF1|－|PF2|＝4(|PF1|＋|PF2|＝8)⇒|PF2|＝2(|PF1|＝6)⇒|PF₁|·|PF₂|＝n＝12.故选A.

4.[2015·石家庄一模]已知抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为(  )

A.    B.

C.1＋    D．1＋

答案 C

解析 由题意可知a(b2)，∴2ac＝b²＝c²－a²，∴e＝1＋，故选C.

5.[2015·大连双基测试]已知离心率e＝2(5)的双曲线C：a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为(  )

A.2    B．3

C.4    D．5

答案 C

解析 因为e＝2(b)＝2(5)，所以a(b)＝2(1)，|OA|(|AF|)＝a(b)＝2(1)，设|AF|＝m，|OA|＝2m，由面积关系得2(1)·m·2m＝4，所以m＝2，由勾股定理，得c＝＝2，又a(c)＝2(5)，所以a＝4，故选C.

6.[2015·山西质监]已知F为抛物线C：y²＝4x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q2(3)，与C交于点P，则点P的坐标为(  )

A.(1,2)    B．(2,2)

C.(3,2)    D．(4,4)

答案 D

解析 由题意，得抛物线的准线方程为x＝－1，F(1,0)．设E(－1，y)，因为PQ为EF的垂直平分线，所以|EQ|＝|FQ|，即y－2(3)＝2(3)，解得y＝4，所以k_EF＝－1－1(4－0)＝－2，k_PQ＝2(1)，所以直线PQ的方程为y－2(3)＝2(1)(x＋1)，即x－2y＋4＝0.由y2＝4x(x－2y＋4＝0)，解得y＝4(x＝4)，即点P的坐标为(4,4)，故选D.

7.F是双曲线C：a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B.若2→(AF)＝→(FB)，则C的离心率是(  )

A.    B．2

C.3(3)    D.3(14)

答案 C

解析 由已知得渐近线为l₁：y＝a(b)x，l₂：y＝－a(b)x，由条件得，F到渐近线的距离|FA|＝b，则|FB|＝2b，在Rt△AOF中，|OF|＝c，则|OA|＝＝a.设l₁的倾斜角为θ，即∠AOF＝θ，则∠AOB＝2θ.在Rt△AOF中，tanθ＝a(b)，在Rt△AOB中，tan2θ＝a(3b)，而tan2θ＝1－tan2θ(2tanθ)，即a(3b)＝a2(b2)，即a²＝3b²，∴a²＝3(c²－a²)，∴e²＝a2(c2)＝3(4)，即e＝3(3).故选C.

8.[2015·洛阳统考]已知双曲线C：a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)，斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该双曲线交于A，B两点，若→(OA)＋→(OB)与向量n＝(－3，－1)共线，则双曲线C的离心率为(  )

A.    B.3(3)

C.3(4)    D．3

答案 B

解析 由题意得，可将直线方程设为y＝x＋c，代入双曲线的方程并化简可得(b²－a²)x²－2a²cx－a²c²－a²b²＝0，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝b2－a2(2a2c)，y₁＋y₂＝x₁＋x₂＋2c＝b2－a2(2b2c)，∴→(OA)＋→(OB)＝b2－a2(2b2c)，又∵→(OA)＋→(OB)与n＝(－3，－1)共线，∴b2－a2(2a2c)＝3·b2－a2(2b2c)⇒e＝a(c)＝3(3).

9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F₁、F₂，点A在C上．若|F₁A|＝2|F₂A|，则cos∠AF₂F₁＝(  )

A.4(1)    B.3(1)

C.4(2)    D.3(2)

答案 A

解析 由题意得|F1A|＝2|F2A|，(|F1A|－|F2A|＝2a，)

解得|F₂A|＝2a，|F₁A|＝4a，

又由已知可得a(c)＝2，所以c＝2a，即|F₁F₂|＝4a，

∴cos∠AF₂F₁＝2·|F2A|·|F1F2|(|F2A|2＋|F1F2|2－|F1A|2)

＝2×2a×4a(4a2＋16a2－16a2)＝4(1).故选A.

10.[2015·贵州七校联考(一)]已知圆C的方程为(x－1)²＋y²＝1，P是椭圆4(x2)＋3(y2)＝1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则→(PA)·→(PB)的取值范围为(  ) 

A.，＋∞(3)    B.

C.9(56)    D.9(56)

答案 C

解析 设PA与PC的夹角为α，则0<α<2(π)，|PA|＝|PB|＝tanα(1)，所以→(PA)·→(PB)＝|PA|·|PB|cos2α＝tan2α(1)·cos2α＝sin2α(cos2α)·cos2α＝1－cos2α(cos2α(1＋cos2α))，令t＝1－cos2α，则设f(t)＝→(PA)·→(PB)＝t＋t(2)－3.由图易知， P在椭圆左顶点时α取得最小值，此时sinα＝3(1)，而P接近椭圆右顶点时，α→2(π)，所以sinα∈，1(1)，所以t＝1－cos2α＝2sin²α∈，2(2).因为f′(t)＝t2(2))，所以f(t)在2(2)上单调递减，在(，2)上单调递增，则f(t)_min＝f()＝2－3，而f9(2)＝9(56)，f(2)＝0，所以f(t)_max＝f9(2)＝9(56)，所以→(PA)·→(PB)的取值范围为9(56)，故选C.

二、填空题

11.[2015·兰州诊断]椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于2(1)，且它的一个顶点恰好是抛物线x²＝8y的焦点，则椭圆C的标准方程为________．

答案 16(x2)＋12(y2)＝1

解析 由题设知抛物线的焦点为(0,2)，所以椭圆中b＝2.因为e＝a(c)＝2(1)，所以a＝2c，又因为a²－b²＝c²，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为16(x2)＋12(y2)＝1.

12.已知P为抛物线y²＝4x上一个动点，Q为圆x²＋(y－4)²＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．

答案 －1

解析 由题意知，圆x²＋(y－4)²＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.

13.设F为抛物线C：y²＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．

答案 4(9)

解析 易知直线AB的方程为y＝3(3)4(3)，与y²＝3x联立并消去x，得4y²－12y－9＝0.设A(x₁，y₁)，

B(x₂，y₂)，则y₁＋y₂＝3，y₁y₂＝－4(9).S_△OAB＝2(1)|OF|·|y₁－y₂|＝2(1)×4(3)＝8(3)＝4(9).

14.[2015·南宁适应性测试(二)]设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若→(ED)＝6→(DF)，则所有k的值为________．

答案 3(2)或8(3)

解析 依题意得椭圆的方程为4(x2)＋y²＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．如图，设D(x₀，kx₀)，E(x₁，kx₁)，F(x₂，kx₂)，其中x₁<x₂，则x₁，x₂满足方程(1＋4k²)x²＝4，故x₂＝－x₁＝1＋4k2(2).由→(ED)＝6→(DF)知x₀－x₁＝6(x₂－x₀)，得x₀＝7(1)(6x₂＋x₁)＝7(5)x₂＝1＋4k2(10).由D在直线AB上知x₀＋2kx₀＝2，x₀＝1＋2k(2).所以1＋2k(2)＝1＋4k2(10)，化简得24k²－25k＋6＝0，由此解得k＝3(2)或k＝8(3).