2017届高考理科数学二轮复习训练：1-7-3 不等式选讲（选修4－5）（参考解析）

1．已知f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．

(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤4；

(2)若f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围．

解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≤4即为|x|＋2|x－1|≤4，

①当x≥1时，原不等式可化简为x＋2(x－1)≤4，得1≤x≤2；

②当0≤x<1时，原不等式可化简为x＋2(1－x)≤4，得0≤x<1；

③当x<0时，原不等式可化简为－x＋2(1－x)≤4，得－3(2)≤x<0.

综合①②③得，－3(2)≤x≤2，即当a＝1时，不等式f(x)≤4的解集为≤x≤2(2).

(2)①当x≥a时，f(x)＝x＋2(x－a)＝3x－2a；

②当0≤x<a时，f(x)＝x＋2(a－x)＝－x＋2a；

③当x<0时，f(x)＝－x＋2(a－x)＝－3x＋2a.

作出函数f(x)的大致图象如图所示，

由图象知f(x)_min＝a，所以a≥4，即实数a的取值范围为[4，＋∞)．

2．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；

(2)设a>－1，且当x∈2(1)时，f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围．

解 (1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)即|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0.

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝3x－6，x>1，(≤x≤1，)

其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0.

所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．

(2)当x∈2(1)时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)即1＋a≤x＋3，所以x≥a－2对x∈2(1)恒成立，故－2(a)≥a－2，解得a≤3(4).又a>－1，所以－1<a≤3(4).

所以a的取值范围是3(4).

3．[2015·郑州质量预测(二)]已知函数f(x)＝|3x＋2|.

(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；

(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤m(1)＋n(1)(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．

解 (1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.

当x<－3(2)时，即－3x－2－x＋1<4，解得－4(5)<x<－3(2)；

当－3(2)≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4，解得－3(2)≤x<2(1)；

当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．

综上所述，x∈2(1).

(2)m(1)＋n(1)＝n(1)(m＋n)＝1＋1＋m(n)＋n(m)≥4(当且仅当m＝n＝2(1)时等号成立)，

令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|

＝－2x－2－a，x>a(≤x≤a)，

∴x＝－3(2)时，g(x)_max＝3(2)＋a，要使不等式恒成立，

只需g(x)_max＝3(2)＋a≤4，即0<a≤3(10).

4．[2015·陕西质检(二)]设函数f(x)＝x²－x＋15，且|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．

证明 ∵|x－a|<1，

∴|f(x)－f(a)|＝|(x²－x＋15)－(a²－a＋15)|

＝|(x－a)(x＋a－1)|

＝|x－a|·|x＋a－1|<1·|x＋a－1|

＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1

＝2(|a|＋1)，

即|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．

5．[2015·长春质监(三)](1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a³＋b³>a²b＋ab²；

(2)已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥abc.

证明 (1)(a³＋b³)－(a²b＋ab²)＝(a＋b)(a－b)².

因为a，b都是正数，所以a＋b>0.

又因为a≠b，所以(a－b)²>0.

于是(a＋b)(a－b)²>0，即(a³＋b³)－(a²b＋ab²)>0，

所以a³＋b³>a²b＋ab².

(2)因为b²＋c²≥2bc，a²>0，所以a²(b²＋c²)≥2a²bc.①

同理b²(a²＋c²)≥2ab²c.②

c²(a²＋b²)≥2abc².③

①②③相加得2(a²b²＋b²c²＋c²a²)≥2a²bc＋2ab²c＋2ab²，

从而a²b²＋b²c²＋c²a²≥abc(a＋b＋c)．

由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此a＋b＋c(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥abc.(当且仅当a＝b＝c时等号成立)

6．已知不等式|x＋1|＋|x－2|≥m的解集是R.

(1)求实数m的取值范围．

(2)在(1)的条件下，当实数m取得最大值时，试判断＋>＋是否成立？并证明你的结论．

解 (1)由绝对值不等式性质知：

|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1＋2－x|＝3对x∈R恒成立．

故|x＋|＋|x－2|≥m的解集为R，只需m≤3即可，

所以m的取值范围是(－∞，3]．

(2)由(1)知实数m的最大值为3，

当m＝3时，不等式＋>＋成立．

证明如下：要使＋>＋成立，

只需(＋)²>(＋)²，

等价于13＋2>13＋2，等价于>，

等价于42>30，而42>30显然成立，故所证不等式成立．