2017届高考理科数学二轮复习训练：2-4-2 填空题速解方法（参考解析）

1．已知集合A＝{x|x²－3x－4≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m＋3}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围为________．

答案 2(1)

解析 ∵A∪B＝A，∴B⊆A.

A＝{x|x²－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4}，

当B＝∅时，m＋1>2m＋3，即m<－2，此时B⊆A成立．

当B≠∅时，m＋1≤2m＋3，即m≥－2.

由B⊆A，得2m＋3≤4，(－1≤m＋1，)解得－2≤m≤2(1).

又∵m≥－2，∴－2≤m≤2(1).综上可知m≤2(1).

2．[2015·河北名校联盟测试](x²－x＋2)⁵的展开式中x³的系数为________．

答案 －200

解析 (x²－x＋2)⁵的展开式中x³的系数为C5(1)×1×C4(1)×(－1)×C3(3)×2³＋C5(3)×(－1)³×C2(2)×2²＝－160－40＝－200.

3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2(3))，且f(0)＝1，则f(2013)＝________.

答案 1

解析 ∵f(x)＝－f2(3)，

∴f(x＋3)＝f2(3)＝－f2(3)＝f(x)．

∴f(x)是以3为周期的周期函数．

∴f(2013)＝f(671×3＋0)＝f(0)＝1.

4．[2015·衡水二调]已知函数f(x)满足f(x)＝2fx(1)，当x∈[1,3]时，f(x)＝lnx，若在区间，3(1)内，函数g(x)＝f(x)－ax的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是________．

答案 e(1)

解析 当x∈，1(1)时，x(1)∈[1,3]，∴fx(1)＝lnx(1)＝－ln x，∴2(1)f(x)＝－ln x，∴f(x)＝－2ln x，∴当x∈，1(1)时，f(x)＝－2lnx.∵函数g(x)的图象与x轴有3个不同的交点，

∴函数f(x)的图象与y＝ax有3个不同的交点，函数f(x)的图象如图所示，直线y＝ax与y＝ln x相切是一个边界情况，直线y＝ax过(3，ln 3)时是一个边界情况，符合题意的直线需要在这2条直线之间，

∵y＝ln x，∴y′＝x(1)，∴k＝x0(1)，所以切线方程为y－ln x₀＝x0(1)(x－x₀)，与y＝ax相同，即a＝e(1)，当y＝ax过点(3，ln 3)时，a＝3(ln 3).综上可得：3(ln 3)≤a<e(1).

5．已知函数f(x)＝－2(1)x²＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．

答案 0<t<1或2<t<3

解析 f′(x)＝－x＋4－x(3)＝x(－x2＋4x－3)＝－x((x－1)(x－3))，由f′(x)＝0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t，t＋1)内，函数在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.

6．[2015·石家庄一模]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．

答案 72

解析 由三视图可知该几何体是一个组合体，下面是一个棱长为4的正方体；上面是一个三棱锥，三棱锥的高为3.故所求体积为4³＋3(1)×2(1)×4×4×3＝72.

7．已知tan＋α(π)＝2(1)，则1＋cos2α(sin2α－cos2α)＝________.

答案 －6(5)

解析 ∵tan＋α(π)＝2(1)，

∴tan α＝tan4(π)＝－3(1)，

则1＋cos2α(sin2α－cos2α)＝2cos2α(2sinαcosα－cos2α)＝tan α－2(1)＝－6(5).

8．数列{a_n}、{b_n}都是等差数列，a₁＝5，b₁＝7，且a₂₀＋b₂₀＝60，则{a_n＋b_n}的前20项和为________．

答案 720

解析 由题意知{a_n＋b_n}也为等差数列，所以{a_n＋b_n}的前20项和为：

S₂₀＝2(20(a1＋b1＋a20＋b20))＝2(20×(5＋7＋60))＝720.

9．设{a_n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b_n＝a_n＋1(n＝1,2，…)．若数列{b_n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.

答案 －9

解析 ∵b_n＝a_n＋1，∴a_n＝b_n－1，而{b_n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{a_n}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，∵{a_n}是公比为q的等比数列，|q|>1.∴{a_n}中的连续四项为－24,36，－54,81.

∴q＝－24(36)＝－2(3)，∴6q＝－9.

10．[2015·郑州质量预测]设函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意x₁、x₂∈D，当x₁＋x₂＝2a时，恒有f(x₁)＋f(x₂)＝2b，则称点(a，b)为函数y＝f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)＝x³＋sinπx＋2图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(－1)＋f20(19)＋…＋f20(19)＋f(1)＝________.

答案 82

解析 依题意，函数y＝x³与y＝sin πx均是奇函数，因此y＝x³＋sin πx是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，函数f(x)＝x³＋sin πx＋2的图象关于点(0,2)对称，于是有f(－x)＋f(x)＝4，因此f(－1)＋f(1)＝4，f20(19)＋f20(19)＝4，…，f(0)＝2，所求的和为2＋20×4＝82.

11.直线l₁和l₂是圆x²＋y²＝2的两条切线．若l₁与l₂的交点为(1,3)，则l₁与l₂的夹角的正切值等于________．

答案 3(4)

解析 根据题意作出图形如图所示，连接OA，OB，则|AO|＝＝，

|OB|＝，∴|AB|＝＝2，

∴tan∠BAO＝2(2)＝2(1)，∴l₁与l₂的夹角的正切值等于tan 2∠BAO＝1－tan2∠BAO(2tan∠BAO)＝4(1)＝3(4).

12．已知F为抛物线y²＝2px(p>0)的焦点，以F为顶点作一个两条对角线长分别为2和2的菱形PFRQ(|PR|>|FQ|)，如图所示．若抛物线经过P，R两个顶点，则抛物线的方程为________．

答案 y²＝2x

解析 由已知条件知|FQ|＝2，|PR|＝2，所以|PF|＝2，且点P的横坐标为2(p)＋1，根据抛物线的定义知|PF|＝x_P＋2(p)＝2(p)＋1＋2(p)＝p＋1，则由p＋1＝2，得p＝1，所以抛物线的方程为y²＝2x.

13．已知椭圆C：4(x2)＋3(y2)＝1的左、右焦点分别为F₁、F₂，椭圆C上点A满足AF₂⊥F₁F₂.若点P是椭圆C上的动点，则→(F1P)·→(F2A)的最大值为________．

答案 2(3)

解析 设向量→(F1P)，→(F2A)的夹角为θ.由条件知|AF₂|为椭圆通径的一半，即为|AF₂|＝a(b2)＝2(3)，则→(F1P)·→(F2A)＝2(3)|→(F1P)|cosθ，于是→(F1P)·→(F2A)要取得最大值，只需→(F1P)在向量→(F2A)上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以→(F1P)·→(F2A)＝2(3)|→(F1P)|cosθ≤2(3).

14．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为 ________.

答案 9

解析 最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18,50×0.18＝9.

15．已知数组(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x₁₀，y₁₀)满足线性回归方程^(y)＝^(b)x＋^(a)，则“(x₀，y₀)满足线性回归方程^(y)＝^(b)x＋^(a)”是“x₀＝10(x1＋x2＋…＋x10)，y₀＝10(y1＋y2＋…＋y10)”的________条件．(填“充分不必要、必要不充分、充要”)

答案 必要不充分

解析 线性回归方程^(y)＝^(b)x＋^(a)必经过点(，)，但满足线性回归方程的点不一定是样本数据的平均数，因此“(x₀，y₀)满足线性回归方程^(y)＝^(b)x＋^(a)”是“x₀＝10(x1＋x2＋…＋x10)，y₀＝10(y1＋y2＋…＋y10)”的必要不充分条件．

16．[2015·四川高考]如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．

答案 5(2)

解析 取BF的中点N，连接MN，EN，则EN∥AF，所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角．在△EMN中，当点M与点P重合时，EM⊥AF，所以当点M逐渐趋近于点Q时，直线EN与EM的夹角越来越小，此时cosθ越来越大．故当点M与点Q重合时，cosθ取最大值．设正方形的边长为4，连接EQ，NQ，在△EQN中，由余弦定理，得cos∠QEN＝

2EQ·EN(EQ2＋EN2－QN2)＝5(20＋5－33)＝－5(2)，所以cosθ的最大值为5(2).

17．[2015·福建高考]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为________．

答案 0

解析 i＝1，S＝0，S＝0＋cos2(π)＝0，i＝2；

2>5不成立，执行循环：S＝0＋cos2(2π)＝－1，i＝3；

3>5不成立，执行循环：S＝－1＋cos2(3π)＝－1，i＝4；

4>5不成立，执行循环：S＝－1＋cos2(4π)＝－1＋1＝0，i＝5；

5>5不成立，执行循环：S＝0＋cos2(5π)＝0，i＝6；

6>5成立，停止循环，输出S的值等于0.

18．已知函数f(x)＝|e^x－1|＋1，若a<b，且f(a)＝f(b)，则实数a＋2b的取值范围为________．

答案 27(32)

解析 结合函数的图象，易知a<0，b>0.∵f(a)＝2－e^a，f(b)＝e^b，设f(a)＝f(b)＝k，则k∈(1,2)，∴a＝ln (2－k)，b＝ln k，a＋2b＝ln (2k²－k³)．设g(k)＝－k³＋2k²，则g′(k)＝－3k²＋4k，令－3k²＋4k＝0，得k＝3(4)，易知函数g(k)＝－k³＋2k²在3(4)上为增函数，在，2(4)上为减函数，即函数g(k)＝－k³＋2k²的最大值为g3(4)＝27(32)，∴当k∈(1,2)时，函数g(k)＝－k³＋2k²的值域为27(32)，

∴ln (2k²－k³)∈27(32)，即实数a＋2b的取值范围为27(32).