物理竞赛电学讲义

静电场

一、电场强度 1、实验定律

a、库仑定律：[内容]条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k进行修正(如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k′= k /εr)。只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点(但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的)。 b、电荷守恒定律 c、叠加原理 2、电场强度

a、电场强度的定义(使用高斯定理)

电场的概念；试探电荷(检验电荷)；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具(电场线的基本属性)。

b、不同电场中场强的计算：决定电场强弱的因素有两个，场源(带电量和带电体的形状)和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出—— ⑴点电荷：E = k

Q

结合点电荷的场强和叠加原理，我们可r2

以求出任何电场的场强

⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P：E = 中r和R的意义见图。

⑶均匀带电球壳 内部：E内 = 0 外部：E外 = k

Q

，其中r指考察点到球心的距离 r2

kQr(r2 R2)

，其

如果球壳是有厚度的的(内径R1 、外径R2)，在壳体中(R1＜r＜R2)：

3

4r3 R1

E = k2 ，其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可

3r

以参照万有引力定律当中(条件部分)的“剥皮法则”理解〔 (r3 R3)即为图中虚线以内部分的总电量〕。 ⑷无限长均匀带电直线(电荷线密度为λ)：E =

2k

r

43

⑸无限大均匀带电平面(电荷面密度为σ)：E = 2πkσ 二、电势

1、电势：把一电荷从P点移到参考点P0时电场力所做的功W与该电荷电量q的比值，即U =

W

参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。和场强一样，电势是属于场本q

身的物理量。W则为电荷的电势能。

2、典型电场的电势 a、点电荷 以无穷远为参考点，U = kb、均匀带电球壳 以无穷远为参考点，U外 = k

Q r

QQ ，U内 = k rR

3

、电势的叠加：由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。很显然，有了点电荷

电势的表达式和叠加原理，我们可以求出任何电场的电势分布。 4、电场力对电荷做功 WAB = q(UA － UB)= qUAB 三、静电场中的导体

静电感应→静电平衡(狭义和广义)→静电屏蔽 1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义 a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等，表面的合场强方向总是．．．．．．．．．垂直导体表面。 b、导体是等势体，表面是等势面。

c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。 2、静电屏蔽

导体壳(网罩)不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳(网罩)接地后，既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽。 四、电容

1、电容器：孤立导体电容器→一般电容器 2、电容 a、定义式 C =

Q

b、决定式。决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置U

关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的电容—— （1）平行板电容器C=ε=

1

)，ε4 k

r

rS S

=，其中ε4 kdd

为绝对介电常数(真空中ε0=

1

，其它介质中4 k

则为相对介电常数，εr=

rR1R2

k(R2 R1)

0

（2）球形电容器：C=

3、电容器的连接a、串联

11111=+++ + b、并联 C = C1 + C2 + C3 + + Cn CC1C2C3Cn

4、电容器的能量

用图表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面

2

111q02

积，这也就是电容器的储能E=q0U0=CU0=

222C

电场的能量：电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确

答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强E表示。对平行板电容器 E总 = 电场储能 w =

Sd2

E认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的8 k

12

E 。而且，这以结论适用于非匀强电场。 8 k

五、电介质的极化 重要模型与专题 一、场强和电场力

【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。

【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。

〖思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？

【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R ，电荷体密度为ρ ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，OO = a ，试求空腔中各点的场强。

二、电势、电量与电场力的功 【物理情形1】如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，PO = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。

〖思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q ，试问：(1)当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内(包括表面)各点电势为多少？(2)当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内(包括表面)各点电势为多少？

【相关应用】如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。

〖练习〗如图所示，两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB ，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：(1)A球壳的感应电荷量；(2)外球壳的电势。

【物理情形2】图中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和UB 。试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少？

〖练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP ，试求Q点的电势UQ 。

【物理情形3】如图所示，A、B两点相距2L ，圆弧OCD是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q的点电荷。试问：(1)将单位正电荷从O点沿

OCD移到D点，电场力对它做了多少功？(2)将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？

【相关应用】在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2 ，质量分别为m1和m2 ，被固定在相距L的两点。试问：(1)若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？(2)若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？(3)未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？

〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q1 、q2和q3 ，两两相距为r12 、r23和r31 ，则这个点电荷系统的静电势能是多少？

〖反馈应用〗如图所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。

三、电场中的导体和电介质

【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S ，间距为d(d远小于金属板的线度)，已知A板带净电量+Q1 ，B板带尽电量+Q2 ，且Q2＜Q1 ，试求：(1)两板内外表面的电量分别是多少；(2)空间各处的场强；(3)两板间的电势差。

【模型变换】如图所示，一平行板电容器，极板面积为S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为εr的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和 Q的电量后，试求：(1)板上自由电荷的分布；(2)两板之间的场强；(3)介质表面的极化电荷。

〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常数为εr的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。

四、电容器的相关计算

【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组成一个如图所示的多级网络，试问：(1)在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′？(2)不接C′，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少？

【物理情形2】如图所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势ε1 = 3.0V ，ε2 = 4.5V，开关K1和K2接通前电容器均未带电，试求K1和K2接通后三个电容器的电压Uao 、Ubo和Uco各为多少。

【练习】

1. 把两个相同的电量为q的点电荷固定在相距l的地方，在二者中间放上第三个质量为m的电量亦为q的点

电荷，现沿电荷连线方向给第三个点电荷一小扰动，证