奥赛训练《力学综合卷》

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姓名 得分

考生注意：1、本卷共六大题，满分140分，时量120分钟。

2、每题均要求写出必要的文字说明，重要的物理规律，答题时应写出完整

的数值和单位。只有结果没有过程的不能得分，过程不完整的不能得满分。

1、（本题20分）如图1所示，两个半径均为R的薄轴环（球心分别为O1和O2）在同一平面上。令左边的圆环静止，右边圆环以速度v（方向沿O1O2的连线方向）从左边圆环旁边通过。试求两圆环交叉点A的速度vA与两环圆心间距d的关系。

2、（本题20分）半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡，如图2所示。已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳与球心的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角θ。

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3、（本题20分）如图3所示，原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球。这一装置可以从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置。设弹簧的形变总是在其弹性限度内。试在下述（a）、（b）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0 。

（a）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值hm为40厘米。

（b）在转动的过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。

4、（本题20分）如图4所示，有一木板可绕其下端的水平轴转动，

转轴位于一竖直墙面上。开始时木板与墙面的夹角15，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r，在木板外侧加一力F使其保持平衡。在木棍端面上画一竖直向上的箭头。已知木棍与墙面之间、木棍与木版之间的静摩擦系数分别为μ1=1.00, μ2≈0.577。若极缓慢地减小所加的力

F，使角慢慢张开，木棍下落。问当夹角张到60时，木棍端面上的箭头

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5、（本题20分）5（本题25分）如图5所示，在光滑水平面上放着一个质量为m1、高度为a的长方体滑块，长度为l（l＞a）的光滑轻质杆斜靠在滑块的右上侧棱上，轻杆能绕O轴在竖直面内自由转动，杆的上端固定一个质量为m2小球。开始时系统静止，轻杆处于竖直状态。试求系统释放后滑块的速度v1随θ的变化规律（滑块不翻滚）。

6、（本题20分）如图6所示，宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R 。当飞船运行到P点时，在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原来速度的α倍。因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会。飞船喷气质量可以不计。

（1）试求飞船新轨道的近火星点A的高度h近和远火星点B的高度h远 ； （2）设飞船原来的运动速度为v0 ,试计算新轨道的运行周期T 。

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参考答案

1、提示：微元法。答：vA =

R4R d

2

2

v

M2R

(M1 M2)L

2、提示：对A点应用力矩平衡即可。答：θ= arcsin

3、提示：写出过程中h随（管子与水平方向夹角）θ变化的函数，然后做极值讨论。第（a）问极值点存在，比较容易；第（b）问极值点不存在，即sinθ＞1 ，得kL0＞2mg 。

答：（a）37.5cm ；（b）50cm≤h0＜100cm 。

4、提示：此题难度颇大。由于接触反力先突破板子的摩擦角（30°），故球先顺时针转动，直至板子转到和墙夹30°角时，接触反力再突破墙壁的摩擦角（45°）开始逆时针转动。第一过程转动的角度为221.5°（要计算直接，查表格数据为佳）。第二过程注意：球相对板子逆时针转114.7°，板子自身顺时针转30°，故球只是逆时针转动了114.7°-30°= 84.7°。

答：顺时针转动136.8°角。

5、提示：对杆与滑块的接触点用速度的合成与分解；对系统用机械能守恒定律。

答：v1 =

2m2gl(1 sin )

。

l24

m1 m22sin

a

GM

① R H

GM

② R H

6、提示：对圆轨道应用动力学，有：v0 =

2

则椭圆轨道上P点的速度：vP =v0 ( v0)2= 2

对P→A过程，机械能守恒：

GmM1GmM1

mv2 = mv2 ③ P A rA2R H2

比较P、A两点，用开普勒第二定律（此处特别注意，P点的速度取垂直矢径

的分速度）： v0rP = vArA ④

解①②③④四式可得： rA =

R H

1

R H

1

同理，对P和B用能量关系和开普勒第二定律，可得：rB = 椭圆的长半轴：a =

rA rBR H

= 21 2

最后对圆轨道和椭圆轨道用开普勒第三定律可得椭圆运动的周期。

2 (R H)H RH R13

答：h近 = ，h远 = ；T = ()2 。 2

v01 1 1

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