第四讲--函数方程与不等式
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第四讲--函数方程与不等式
高中数学竞赛讲义
第四讲 函数、方程与不等式
函数、方程与不等式三者紧密联系,互为一体.函数y?f(x)的研究对象是定义域内的每一个自变量(全体),对应的方程f(x)?0研究的则是那些使函数值为零的自变量(个体),而不等式f(x)?0(?0)关注的对象则是函数f(x)在
. x轴上(下)方的图象对应的自变量,这仅仅是全体的一部分(部分)
三个一次:一次函数y?kx?b(k?0)→一元一次方程kx?b?0→一元一次不等式kx?b?0等.
三个二次:二次函数y?ax2?bx?c(a?0)→一元二次方程ax2?bx?c?0→一元二次不等式ax2?bx?c?0等.
根的分布:设x1,x2为ax2?bx?c?0(a?0)的两个实根,(1)两正根;(2)两负根;(3)一正一负根;(4)x1?x2?k;(5)k?x1?x2;(6)x1?k?x2;(7)
(8)x1?k1且x2?k2(k1?k2);(9)在区间(k1,k2)有且仅有一k1?x1?x2?k2;
根;(10)在区间(k1,k2)有根.
1.在实数范围内解下列方程(组)
x(1)2x?3x?5x,
内容需要下载文档才能查看10?1x1?1xxx 4x?6x?9; ,65
(2
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?
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(3x?1)?(2x?1)?0,
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(3)?10x?1; 11114????, x2?3x?2x2?3x?2x2?xx2?x5
?x?7?x?3,
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看?x, ; 0010100?x2?x?1?(x2?x?1)(x2?2x?4),
内容需要下载文档才能查看x2?x?
(4
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?1,
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?11,
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?
高中数学竞赛讲义
1?32x?y?y??23?1?x?yxy?2x?y?1???1??(5)?yz?2z?3y?8, ?1?y2?z, ?y3?z2?z?. 3?zx?4z?3x?8??1?z2?x?1??32z?x?x??3?
2.在实数范围内解(证明)下列不等式
(1)8101005??x3?5x?0, (x2?1)?x3(x?1)x?120102?2x?1?,0
log2(x12?3x10?5x8?3x6?1)?1?log2(x4?1);
(2)已知0?x,y,z?1,求证:x?1?y??y?1?z??z?1?x??1;
(3)柯西(Cauchy)不等式:若a1,a2,,an;b1,b2,,bn都是实数,则(a12?a22?
?an2)(b12?b22??bn2)?(a1b1?a2b2??anbn)2.
3. 已知实数x,y满足(x?2)3?2012(x?2)?1,(y?2)3?2012(y?2)??1,试求x?y的值.
4. 若实数a,b满足a3?3a2?5a?1,b3?3b2?5b?5,求a?b的值.
5.
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看若(x?y?1,则x?y?0.
6.请写出一个整系数多项式函数f(x
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看)f(x)?0的一个根.
7. 若关于x的方程(x2?1)2?x2?1?k?0恰有8个不同的实根,求实数k的取值范围;更一般地,试讨论k的不同取值与方程根的个数的关系.
8. 设x,y?R,M?max{x?y,x?y,?x,?y,试求M的最小值.
9. 设实数a,b满足3a?13b?17a,5a?7b?11b,证明:1?a?b?2.
xx2
10. 设x?0,a?
内容需要下载文档才能查看0?1??成立的最大的a值. 2a
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