第六讲--抽象函数

高中数学竞赛讲义

第六讲 抽象函数

所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数．抽象函数问题一般是根据所给的性质讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等．

抽象函数的处理方法主要是“赋值法”，利用变量代换解题．也常由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本初等函数，再由相关函数的相关性质，预测、猜想抽象函数可能具有相关性质，并给出证明，这是使抽象函数问题获解的一种有效方法．

例如

由f(x?y)?f(x)?f(y)联想及正比例函数f(x)?kx(k?0)；

由f(x?y)?f(x)?f(y)?b联想及一次函数f(x)?kx?b(k?0)；

由f(x?y)?f(x)f(y)联想及指数函数f(x)?ax(a?0,且a?1)；

由f(xy)?f(x)?f(y)联想及对数函数f(x)?logax(a?0,且a?1)； 由f(xy)?f(x)f(y)联想及幂函数f(x)?x?，

等等．

1.函数f,g均为实数集R到R上的非常值函数，且满足

?f(x?y)?f(x)g(y)?g(x)f(y) ??g(x?y)?g(x)g(y)?f(x)f(y)

求f(0)与g(0)的所有可能值．

2.已知函数f,g均在R上有定义，对任意的x,y?R有

f(x?y)?f(x)g(y)?g(x)f(y)，

1)?f(2)，求g(1)?g(?1)的值．且f(1)?0．（1）求证：f(x)为奇函数；（2）若f(

3.已知函数f(x)的定义域为R，且对m,n?R恒有f(m?n)?f(m)?f(n)?1，11且f(?)?0，当x??时，f(x)?0．（1）求证：f(x)是R上的单调递增函数；22

（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证．

4.设f(x)是定义在R上的非常值函数，且对任意x,y都有

f(x?y)?f(x?y)?2[f(x)?f(y)]．

（1）求f(0)的值；（2）求证：f(x)是R上的偶函数；（3）试举出具有这种性质

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的一个函数，并加以验证．

5.设定义在D?{xx?0}上的函数f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)．（1）求f(1)的值；（2）判断并证明f(x)的奇偶性；（3）若f(2)?1，试给出一个满足题意的函数并加以验证．

6.已知函数

f(?x)y?y?(f)x?(Rx对任意实数x,y，都有(f?x)?y2成立，且(fxff(0)y?0．（1）求f(0)的值；（2）判断并证明y?f(x)(x?R)的奇偶性；（3）若函数y?f(x)(x?R)在[0,??)上单调递增，且f(x?1)?2a?3?0对任意的x?R恒成立，求实数a的取值范围．

7.已知f(x)是定义在[?1,1]上的奇函数，当a,b?[?1,1]，且a?b?0时，有f(a)?f(b)?0．（1）判断f(x)的单调性，并给予证明；（2）若f(1)?1，且a?b

f(x)?m2?2mb?1对于所有的x?[?1,1]，b?[?1,1]恒成立，求实数m的取值范围．

8.定义在(?1,1)上的函数f(x)满足：

x?y)； ①对任意x,y?(?1,1)，都有f(x)?f(y)?f(1?xy

②当x?(?1,0)时，有f(x)?0．

（1）求证：函数f(x)是奇函数；（2）判断f(x)在(?1,1)上是否具有单调性，

1)?0的解． 并加以证明；（3）设?1?a?1，试求不等式f(a)?f(1?x

9.已知定义在(?1,1)上的函数f(x)满足：

x?y)， ①?x,y?(?1,1)，都有f(x)?f(y)?f(1?xy

②当x?(0,1)时，f(x)?0．

x?y)；（1）求f(0)；（2）求证：?x,y?(?1,1)，都有f(x)?f(y)?f(（3）1?xy

11证明f()?f()?1929

?f(11*)?f()n?N，． 2n?7n?1122

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10.设f(x)是定义在D?{xx?0}上的奇函数，且在(0,??)上单调递增．（1）判断并证明f(x)在(??,0)内的单调性；（2）若f(1)?0，试解关于x的方程

；（3）设m?0,n?0，f(mn)?f(m)?f(n)，且f(?2)??1，f[loga(1?x2)?1]?0

试解关于t的不等式log1f(t)??0．

2

11.设定义在R上的函数f(x)满足：

①f(0)?0，f(1)??1；

②?x,y?R都有f(x?y)?(1?a)f(x)?af(y)（a为常数）． 2

（1）求a与f(?1)的值；（2）求证：?x,y?R都有f(x?y)?f(x)?f(y)；（3）若当x?0时，f(x)?0，解关于x的不等式中b2?2．

12.已知函数f(x)满足对任意的实数x,y都有f(x?y)?f(x)?f(y)?xy?1，且f(?2)??2，（1）求f(1)的值；（2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)?t；

（3）试求方程f(t)?t的整数解的个数，并说明理由．

13.设函数f?x?是满足下列条件的函数： ①若x?y且f(x)?x?a?f(y)?y，则存在实数z?[y,x]，使得f(z)?a?z； ②方程f(x)?0至少有一个解，并在该方程的解中存在一个解不大于所有其他的解；

③f(0)?1；

④f(?1999)?2000；

⑤f(x)f(y)?f[xf(y)?yf(x)?xy]．

求f(?1999)的值．

11f(bx2)?f(x)?f(b2x)?f(b)，其22

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