一道数学竞赛试题的探究与推广

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中学数学教学２０１４年第６期

一道数学竞赛试题的探究与推广

湖北省孝感市第一中学叶晓斌

（邮编：４３２０００）

题目（２０１３年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）第７题）从集合Ａ一｛１，

２，３，…，３０）中取出五个不同的数，使这五个数构

成等差数列，则可以得到的不同的等差数列的个

数为——．

解当公差ｄ＝１，２，３，４，５，６，７时，分别可得到２６，２２，１８，１４，１０，６，２个等差数列，一共９８

个；把这９８个数列分别倒序排列又得到９８个公差为负的等差数列，故总数为１９６个．

探究１若从集合Ａ＝｛１，２，３，…，行｝中取

出搬个不同的数，使这优个数构成等差数列，则

可以得到多少个不同的等差数列呢？

解析设从集合Ａ中取出的ｍ个不同的数

分别为改ｌ，以２，…，以。，且Ⅱ１＜ｎ２＜…＜以。，则

当１≤ａｌ—ｎ２—１一口３—２一…一口。～（ｍ

一１）≤竹一（仇一１）时，可得７２一（ｍ一１）个等差

数列；

当１≤“１一ｎ２～２一口３—４一…一ｎ。一２（ｍ

一１）≤ｒ／一２（ｍ一１）时，可得咒一２（ｍ一１）个等

差数列；

当１≤“ｌ—ｎ２～３一日３—６一…一ｎ。一３（ｒｎ一１）≤行一３（ｍ一１）时，可得７２—３（ｍ一１）个等差数列；

当１≤口ｌ—ａ２一ｋ—ａ３—２ｋ一…一ｎ。一

是（优一１）≤押一是（ｍ—１），其中ｋ一［而ｎ－－１］，（［ｚ］表示不大于ｚ的最大整数，下同）时，可得靠

一ｋ（ｍ～１）个等差数列．

综上所述，当公差ｄ一１，２，…，ｋ时，共构成等差数列砌～丛生上县鱼￡坐；把这些数列分

别倒序排列又得到砌一丛生上嵝堕￡二旦个公差

为负的等差数列，故总数为ｋ（２ｎ＋ｋ＋１一ｍ—

ｋｍ）个，其中矗一［而ｎ

１］．

探究２若从集合Ａ一｛＆ｌ，盘ｚ，盘。，…，ｎ。｝中

取出ｍ个不同的数，使这州个数构成等差数列，

其中｛ａ。｝是以公差为ｄ。＞０的等差数列，则是

万方数据

否也可得到ｋ（２ｎ＋愚＋１一ｍ—ｋｍ）个不同的等

差数列呢？

结论是显然的，其证明过程如下：

证明设从集合Ａ中取出的觚个不同的数分另０为ｚ１，ｚ２，…，ｚ。，则

当１≤ａ１一口２一ｄｏ一口３—２ｄｏ一…一以。一（ｍ一１）巩≤咒一（ｍ一１）ｄｏ时，可得竹一（ｍ一

１）个等差数列；

当１≤ａ１一口２—２ｄｏ一口３—４ｄｏ一…一口。一２（ｍ一１）砒≤以一２（ｍ一１）凼时，可得行一２（ｍ一１）个等差数列；．

当１≤以ｌ一口２—３ｄｏ—ｎ３—６ｄｏ一…一日。一３（ｍ一１）凶≤７７—３（优一１）ｄｏ时，可得咒一３（ｒｎ

一１）个等差数列；

当１≤口１一口２一ｌｅｄｏ一Ⅱ３—２ｋｄｏ一…一口ｍ—ｋ（ｍ一１）如≤”～ｋ（ｍ一１）ｄｏ，其中ｋ一

）堡；｛时，可得，２一是（埘～１）个等差数列．

Ｌ＂Ｉｌｌ——上＿Ｊ

成等差数列的总数为ｋｎ一丛生上臻㈣；把

综上所述，当公差ｄ一１，２，…，ｋ时，其共构

这些数列分别倒序排列又得到砌一

丛生土嵝堕￡尘个公差为负的等差数列，故总

厶

数为ｋ（２ｎ＋ｋ＋１～７７ｚ—ｋｍ）个，其中忌一

厂”一１］

ｌ而ｊ。

探究３从集合Ａ一｛ｎ１，口２，ａ３，…，ｎ。｝中取出研个不同的数，使这ｍ个数构成等差数列，其中｛ｎ。｝是公差为ｄ。＜０的等差数列，则可以得到不同的等差数列的个数仍为

ｋ（２行＋志＋１一ｍ一梳），其中ｋ—Ｉ旦二｛Ｉ．

Ｌ，，￡

１’Ｊ

其证明方法同上，限于篇幅，在此就不赘述了．

结合探究１、２、３的结论，我们可归纳得到如

下结论及推论：

结论从集合Ａ一｛ａｌ，口２，以３，…，口。｝中取

出ｍ个不同的数，使这ｍ个数构成等差数列，其中｛％｝是以公差为函≠０的等差数列，且踅≥ｍ＞１，

２０１４年第６期

中学数学教学

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一个有趣的三角不等式

安徽省舒城县杭埠镇中心学校丁遵标

（邮编：ｉ３１３２３）

命题在△ＡＢＣ中，求证：

ｃ。ｓＡ

ｃ。ｓ２虿ＢＣＯＳ３了Ｃ冬丽２７．

≤ｃ。ｓｔ—Ｌ二２上ｃｏＳ４挛

ｃ．丌

Ａ４

Ｂｚ－。ｉＢ十，了Ｃ

’．‘ｃ。幽ｃ。ｓ罢

一丢［ｃ。ｓ（Ａ＋罢）＋ｃ。ｓ（Ａ一导）］

证明

一Ａ手＋Ｂ＋Ｃ－－－啷。拳

Ａ＋Ｂ＋Ｃ－－３－．导＋詈

≤ｉｌ［ｃｏｓ（Ａ＋加卜。攀，

．．仰妣ｓ万Ｂ≤啷。攀，

Ｂ

Ｃ

同理，ｃ。８可Ｂ厶

ｃ。ｓ百Ｃ≤ＣＯＳ？呈弓』，

０

［

ｃＯｓ２了Ｃｃ。ｓ２百７Ｅ≤ｃｏＳ４—３≯６，

． ．ｃ。ＳＡｃ。ｓ２虿Ｂ

ｃ。ｓ３

≤ＣＯＳ８—ｊ—下ｌ

。Ａ＋Ｂ＋导＋等＋号一ｏｓ８———｝型一一——一－ｃｏｓ８詈，Ａ—＋—Ｂ＋一Ｃ＋ｎＣＯＳ８ｉＣ≤ｃ。ｓ６詈一器，

一ｃｏｓｓ詈，

． ．ｃ。ｓＡｃ。ｓ２

ｉＢ

ＣＯＳ３

故ｃ。ｓＡ

ｃ。ｓ２罢ｃ（ｊｓ３了Ｃ≤丽２７．

参考文献

（收稿日期：２０１４—０４—０２）

ｉＣ

ｃ。ｓ２吾

１

一。Ａ＋Ｂｚ，。导愕。ｃｓ＋ｚｂ≤ｃｏｓ２—产ｃｏｓ２兰了』ｃｏｓ４土丁旦

则可以得到不同的等差数列的个数为

匡继昌．常用不等式［Ｍ］］．山东科学技术出版社，

２００４年１月第３版

ｒ卵二』］

ｋ（２”＋志＋１一ｍ—ｋｍ），其中志一［ａｎ－－１］．

推论１若数列｛以。｝是以公差不为０的等

Ｌｍ一１－Ｊ‘

最后以一道２０１０年浙江省五校联考试题为

差数列，从中取出若干（大于２）个数构成其子列，则所有子列中仍成等差数列的子列数为

例，应用上述结论对其进行求解．

例设｛口。）是等差数列，从｛ａ。，以。，…，ａ。。）中任取３个不同的数，使这３个数仍成等差数

列，则这样不同的等差数列最多有（Ａ．９０个Ｂ．１２０个解

）

∑ｋ（２ｎ＋ｋ＋１一ＩＴｔ—ｋｍ），其中ｋ一

［而ｎ－－１］．

推论２若数列｛ｎ。｝是以公比不为１的等

由题意知，ｋ一｜等Ｉ一９，以一２０，优

Ｃ．１８０个Ｄ．２００个

一３．于是，得到这样不同的等差数列最多有：９×（２×２０＋９＋１—３—９×３）一１８０（个）．故应选Ｃ

点评从上述解答过程可以看出，运用本文

比数列，从中取出若干（大于２）个数构成其子列，

则所有子列中也成等比数列的子列数为

∑ｋ（２ｎ＋ｋ＋１一ｍ—ｋｍ），其中ｋ—

的结论解题不仅过程更为简洁，而且也为这一类

问题的求解提供了一种更为简单而有效的方法．

（收稿日期：２０１４一０９—２８）

万方数据