第10讲 对数函数

　　知识归纳和梳理：

　　反函数的定义：一般地，对于函数y?f(x)，设它的定义域为D，值域为A。如果对于A中的任意一个值y，在D中总有惟一确定的x值与它对应，使y?f(x)，这样得到x关于y的函数叫函数y?f(x)的反函数。 记作x?f?1(y)(y?A)。习惯上，把它改写为y?f?1(x)(x?A)。

　　反函数的性质：反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。 反函数与原函数的图像关系：关于直线y=x对称。

　　1

　　底数的大小和图像的关系：

　　规律一：当a1时，底数越大，图像越靠近x轴 当01时，底数越小，图像越靠近x轴 规律二：在第一象限内，底数越大，图像越靠右（顺时针靠后）

　　【典型例题】：

　　例1.已知f(x?1)?2x ，求y?f(x)的反函数f?1

　　x?1(x) 的表达式

　　例2.设f(x)?2x?3

　　x?1，函数g(x)?f?1(x?1)的图象与h(x)的图象关于直线y?x对称，

　　则h(3)的值为 （ ）

　　A．7

　　2 B．3 C．5 D．11

　　2

　　经典练,1,2

　　1.已知函数f(x)的定义域是???,0?，f(x?1)?x2?2x，求y?f?1(x)

　　2. f(x?1)?1

　　2x?x2(x?0) ,f?1(?1

　　3)?f(?2) 的值为_________.

　　2

　　例3.

　　函数y?的定义域是（ ）

　　A．[1,??) B．(2,??) C．[2,1] D．(2

　　333,1]

　　经典练习3：求下列函数的定义域

　　(1)y=1

　　log (2)y=log12

　　7 (3)y??log3(x?2

　　2x1?3xx)

　　例4. 比较下列各组数中两个值的大小：

　　(1)log0.31.8,log0.32.7； (2)loga5.1,loga5.9(a?0,a?1)

　　(3)log67,log6； (4)log11

　　731.2,log20.8 (5)log2.13,log2.33

　　经典练习4：1.比较下列各组中各数的大小

　　?1

　　⑴log7,loglog?1?2

　　0.30.0.40.7 ⑵3.40.7,log0.60.8,??3?? ⑶log0.30.1log0.20.3

　　3

　　2.若a2a1,试比较loga

　　ab,logb

　　ba,logba,logab的大小.

　　例5. 设函数f(x)?log2x?b

　　12x?b(b?0).

　　2

　　(1) 求函数f(x)的定义域；

　　(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

　　(3) 指出f(x)在区间(b

　　2,??)上的单调性，并予以证明.

　　例6.求函数y?log1(?x2?2x?3)的定义域、值域和单调区间

　　2

　　经典练习5，6：

　　1.函数f(x)?log0.5(2x2?3x?1)的递减区间为 （ ）

　　A （1，＋?） B （－?，31

　　4） C （2，＋?）

　　D （－?，12）4

　　2.已知函数f(x)?1

　　x?log1?x

　　21?x,求函数的定义域，并判断它的奇偶性和单调性。

　　【巩固练习】：

　　一、基础训练题：

　　1.已知函数y?6x?5

　　x?1(x?R且x?1)，那么它的反函数为( )

　　A、y?6x?5

　　x?1?x?R且x?1? B、y?x?5

　　x?6?x?R且x?6?

　　C、y?x?1?x?6

　　6x?5??x?R且x??5?

　　6?? D、y?x?5?x?R且x??5?

　　2.函数y?logx

　　2x?1(x?1)的反函数是（ ）

　　A．y?2x

　　2x?1(x?0) B．y?2x

　　2?1?0)C．y?2x?12x?1

　　x(x2x(x?0) D．y?2x(x?0)

　　3．设f?1(x)是函数f(x)?1

　　2(2x?2?x)的反函数，则f?1(x)＞1的解集为 （ ）

　　A．(3

　　4，??) B．(??33

　　4) C．(4，2) D．（2，＋∞）

　　4.（1）y?lgx?lg(5?3x)的定义域为___；

　　5.已知a?log0.70.8,b?log.7

　　1.10.8,c?1.10，则a,b,c的大小关系是（ ）

　　（A）a?b?c （B）b?a?c （C）c?a?b （D）b?c?a

　　6.下列不等式中，不能成立的是 ( ) A log10.2＜1 B log12＞log7143

　　13 C log5

　　2332＜log1 D log2＞log23734

　　5

　　7. 函数y?log1(1?3x)的定义域是（ ）

　　3

　　1

　　3

　　1x8. （2009辽宁卷文）已知函数f(x)满足：x≥4,则f(x)＝()；当x＜4时f(x)＝f(x?1)，则2 A [0,) B (,??) C (??,0) D (??,) 1313

　　f(2?log23)＝( )

　　（A）

　　9.若a?0,b?0,ab?1，log1a?ln2，则logab与log1a的关系是（ ）

　　21113 （B） （C） （D）241288 2

　　A．logab?log1a B．logab?log1a C．logab?log1a D．logab?log1a

　　2222

　　10.y?lg(?x2?x)的递增区间为，值域为

　　x11.已知2?256且log2x?1x，求函数f(x)?log2?log222x的最大值和最小值． 2

　　二、能力提高题：

　　1.设函数y＝f（x）的反函数为y＝f1（x），且y＝f（2x－1）图象过点（－1－，1），则y＝f1（x）图象必 2

　　过点（ ）

　　A．（1，1） 2B．（1，1） 2C．（1，0） D．（0，1）

　　2.x??1,2?时，不等式(x?1)2?logax恒成立，则a的取值范围是 （ ）

　　（A）(0,1) （B）(1,2) （C）?1,2? （D）?,2? 2

　　3.函数y?log2ax?(a?0)图象的对称轴为x?2，则a为 （ ）

　　（A）?1???11 （B）? （C）2 （D）?2 22

　　6

　　4.已知y?loga(2?ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( ) （0，1）（1，2）（0，2）A. B. C. D. [2，+?）

　　5.（辽宁卷理）若x1满足2x+2=5, x2满足2x+2log2(x－1)=5, x1+x2＝（ ） x

　　57 (B)3 (C) (D)4 22

　　6. 定义区间[x1,x2](x1?x2)的长度为x2?x1,已知函数f(x)?|log1x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],（A）

　　2

　　则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为 .

　　7.设a为常数，a?0，函数f(x)?logx?5

　　ax?5

　　(1)讨论函数f(x)在区间(??,?5)内的单调性，并给予证明；

　　(2)设g(x)?1?loga(x?3)，如果方程f(x)?g(x)有实根，求a的取值范围。

　　课后作业：

　　1.已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（ ）

　　A、(a,f?1(a)) B、?f?1?b?,b? C、?f?1?a?,a? D、?b,f?1?b??

　　2.对于0?a?1，给出下列四个不等式 ①loga(1?a)?log1

　　a(1?a) ②log1

　　a(1?a)?loga(1?a) 1

　　③a1?a?a1?a ④a1?a?a1?1

　　a

　　其中成立的是（ ）

　　A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④

　　7

　　3.设函数f(x)?f()lgx?1，则f(10)的值为（ ）

　　A．1 B．?1 C．10 D．1x1 10

　　4.若函数y?log2ax2?2x?1的定义域为R，则a的范围为。

　　5.已知y=loga(2-a)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.

　　6. 已知a?0且a?1，f(x)?logax??x?3，g(x)?1?loga(x?1)，设f(x)和g(x)的定义域的公共部x?3

　　分为D，若存在m、n?R，且m?n，使得当?m,n??D时，f(x)在?m,n?上的值域为?g(n),g(m)?，求a的取值范围。

　　备用题

　　4x?nx1.已知函数g(x)?是奇函数，f(x)?log(4?1)?mx是偶函数 4x2

　　（1）求m?n的值

　　（2）设h(x)?f(x)?

　　8 1x，若g(x)?h[log4(2a?1)]对任意x?1恒成立，求实数a的取值范围。 2