运动学4、质点的圆周运动与螺旋运动

　　高中物理竞赛辅导学案,运动学4、质点的圆周运动与螺旋运动

　　北晨学校高中部物理兴趣小组导学案 第一章 运动学 第四节 质点的圆周运动与螺旋运动 制作人：楚东阳 时间：2016.11.23

　　年级： 班级： 姓名： 【赛点直击】

　　★刚体的平运动和绕定轴的转动 ★圆周运动的角量描述 ★质点的螺旋运动 ★★刚体的平运动和绕定轴的转动★★

　　在物理学中，为使问题简化，对外力作用下形变并不显著的物体，常应用刚体这个理想模型。刚体是一种特殊的质点系，无论它在多大的外力作用下，系统内任意两质点间的距离保持不变。刚体的这个特点使刚体力学和一般质点系的力学相比，大为简化。

　　当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫做平动。例如升降机的运动，气缸中活塞的运动，刨床上刨刀的运动。显然，刚体运动时，在任意一段时间内，刚体中所有质点的位移是相同的。而且任何时刻，各个质点的速度和加速度也是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动，一般以质心为代表。

　　刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动便叫做转动，这一直线叫转轴。例如机器上齿轮的运动，车床上工件的运动，钟摆的运动，地球的自转运动等。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴运动。 ★★圆周运动的角量描述★★

　　质点做圆周运动时，也常用角位移、角速度和角加速度等角量来描述。

　　设一质点在平面xoy内，绕原点O做圆周运动,如果在时刻t，质点在A点，半径OA与Ox轴成θ角，θ角叫做角位置。在时刻（t+?t），质点到达B点，半径OB与Ox轴成（θ+?θ）角。就是说，在?t时间内，质点转过角度?θ，此?θ角叫做质点对O点的角位移。角位移不但有大小而且有转向。一般规定沿逆时针转向的角位移取正值，沿顺时针转向的角位移取负值。角位移?θ与时间之比在?t趋近于零时的极限值为 ??lim

　　? ?t?0?t

　　ω叫做某一时刻质点对O点的瞬时角速度（简称角速度）。设质点在某一时刻的角速度为ω0，

　　经过时间?t后，角速度为ω，则?ω=ω-ω0，?ω叫做在这段时间内角速度的增量。角速度的增量?w与时间?t之比趋近与零时的极限值为 a?li??

　　?t?0?t

　　a叫做某一时刻质点对ｏ点的瞬时角加速度（简称角加速度）

　　质点做匀速和匀变速圆周运动时，用角量表示的运动学方程与匀速和匀变速直线运动的运动学方程完全相似。匀速圆周运动的运动学方程为θ=θ0+ωt。 匀变速圆周运动的运行学方程为ω=ω0+at，

　　θ=θ0+ω0t+at2/2， ω2-ω20=2a（θ-θ0）.

　　式中θ、θ0、ω、ω0和a分别表示角位置、初角位置、角速度、初角速度和角加速度。质点做圆周运动时有关线量（速度、加速度）和角量（角速度、角加速度）之间，存在着一定的关系，

　　学而不思则惘

　　将其推导如下：

　　设圆的半径为R,在时间?t内，质点的角位移为?θ。那么质点在这段时间内的线位移就是有

　　?

　　?

　　向线段AB。当?t极小时，弦AB和弧AB视为等长，即AB=R?θ。

　　以?t除等式的两边，当?t趋近与零时，按照速度和角速度的定义，得线速度和角速度之间的关系式 v=ωR

　　设置点在时间?t内，速率的增量是?v=v-v0，相应的角速度的增量是?ω=ω-ω0因此按照上式可得?v=R?ω。以?t除等式的两边，当?t趋近于零时，按照切向加速度和角加速度的定义，得到质点切向加速度与角加速度之间的关系式 at=Ra 如多吧v=ωR代入向心加速度的公式an=v2/R，可得质点向心加速度an与角速度ω之间的关系式 an=v2/R=vω=Rω2.

　　面对一般的曲线运动，向心加速度an=v2ρ，其中ρ为质点所在曲线处的曲率半径（每一光滑平面曲线中的任何一个无限小部分均可属于某一圆，此圆称为曲线在该部位的曲率圆，其半径称为曲率半径）。aτ为切向加速度，表征速度大小改变的快慢，对匀速圆周运动而言，aτ=0 ★★质点的螺旋运动★★ 1、平面螺旋运动

　　在平面上一根长直线杆绕其端点o，顺着一个确定方向（例如逆时针方向）旋转，同时套在杆中的小环P沿着杆的方向运动，此环的运动轨道便为一条螺旋线。设t=0时，环P所在位置对应r=0，θ=0，环沿杆方向加速度为常量vr，杆的旋转角速度为常量W，则任意t时刻有 r=vrt，θ=ωt，轨道为 r?

　　vr

　　?

　　这是一条阿基米德螺旋线，如图1-29所示.t时刻环的角向速度为 V0=ωr=ωvrt 环的速率为 v?

　　v2v222

　　r? ??(?t)?vr ?? ?vr

　　2、空间螺旋运动

　　如果质点在xOy平面内做匀速圆周运动，而同时沿z轴方向做匀速直线运动，则它的运动轨迹即类同于粗细相同螺丝的螺纹（等距螺旋线）。处理办法是根据运动独立性知识分别考虑匀速圆周运动与匀速直线运动两个分运动。 【赛题典例】

　　例1 四根同样硬杆长均为L,杆端用铰链相接,构成菱形,其对角线BD比对角线AC长,菱形平放在桌面上,某一刻A和C两顶点以同样大小速度v沿直线AC朝相反方向开始运动,求当菱形变成正方形时顶点B相对桌面的加速度。

　　例2 A质点以速度v1做匀速直线运动；质点B以等速率v2始终向着A运动，当B的运动方向垂直于v1时，AB相距L，则这时B点加速度大小和曲率半径各为多少？

　　思而不学则殆