工程力学—平面汇交力系Word
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工程力学—平面汇交力系Word
第 2 章
平面汇交力系
引言力系分为:平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 ②平面力偶系 ③平面平行力系 ④平面一般力系
平面力系
平面特殊力系 平面任意力系
平面汇交力系: 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。研究方法:几何法、解析法。 例:起重机的挂钩。
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则c F1 A F3 d F4 e d F4 e FR F1 a F3
F2F3
F2
F2
bF1 a FR
c
F4
b
各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。 力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。 用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
结论:平面汇交力系可简化为一合力,其 合力的大小与方向等于各分力的矢量和 (几何和),合力的作用线通过汇交点。 用 矢量式表示为:
FR F1 F2 Fn F如果一力与某一力系等效,则此力称为该 力系的合力。
2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件F2 F3 F5 F4 R 在上面几何法求力系的合力中,合力为 零意味着力多边形自行封闭。所以平面 汇交力系平衡的必要与充分的几何条件 是: 力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零
F1
用矢量式表示为:
Fi 0
在平衡的情形下,力多边形中最后一力的终点 与第一力的起点重合,此时的力多边形称为封闭的力 多边形。于是,平面汇交力系平衡的必要与充分条件 是:该力系的力多边形自行封闭,这是平衡的几何条 件。
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍 物。求作用在中心的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。 解: ①选碾子为研究对象
②画分离体的受力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力NB构成 一平衡力系。 由平衡的几何条件,力多边 形封闭,故
F P tg
NB P cos
r 2 (r h) 2 0.577 又由几何关系: tg r h
P=20kN
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系,碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法2.2.1 力在坐标轴上的投影y F Fy
Fx F cos Fy F cos 注意:正负问题
x Fx
O y
2.2.2 力的正交分解与 力的解析表达式
F Fx Fy Fx i Fy j
Fy jO
F Fxx
i
2.2.3合力投影定理合力在任一轴上的投影,等于它的各分力在 同一轴上投影的代数和。证明: 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1 、F2、F3 如图。F1 B F1
AF2
A R
F2 C
F3(a)
D
F3 x
(b)
各力在x 轴上投
影:
F1x ab
F2 x bc F3 x dc
F1A R
B
F2 C
合力 R 在x 轴上投影:
Da
F3 x
Rx ad ab bc dc Rx F1x F2 x F3 x
b d c (b)
推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面共点 力系,可得:
Rx F1x F2 x F3 x Fnx Fx
2.2.3合力投影定理 平面汇交力系的合力在某轴上的投影,等 于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
FRx Fxi2 Ry
FRy FyiFR F F ( Fxi ) ( Fyi )2 Rx 2 2
FRx cos( FR , i ) FR
cos( FR , j)
FRy FR
2.2.4 平面汇交力系的平衡方程从前述可知:平面汇交力系平衡的必要与充分条件是 该力系的合力为零。
FR ( Fxi )2 ( Fyi )2 0
Fxi 0
Fyi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。注意:1.X轴和Y轴只要不相互平行即可;2.最多只能求解两个未知量;3.未知力的方向可以任意 假使。4.投影轴常选择与未知力垂直,最好使每个方程中只 有一 个未知数。
[例2] 已知 P=2kN
求SCD , RA
解:
1. 取AB杆为研究对象 2. 画AB的受力图3. 列平衡方程
X 0
RA cos SCD cos450 0
Y 0 P RA sin SCD sin450 04. 解方程 由EB=BC=0.4m, 解得:
EB 0.4 1 t g AB 1.2 3 0 P cos 45 SCD 4.24 kN ; R A SCD 3.16 kN 0 0 sin 45 cos45 tg cos
例3 求图示平面刚架的支反力。 解:以刚架为研究对象,受 力如图,建立如图坐标。
P4m
X 0 : RA cos P 0 Y 0 : RA sin YB 0由几何关系5 2 5 sin , cos 5 5
A8m
B
PA
y
B
RA
解得
5 1 RA P, YB P 2 2
x
YB
解题技巧及说明:1、一般地,对于只受三个力作用的物体,且角度特殊时用 几何法(解力三角形)比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体,无论角度不特殊或特殊, 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直,最好使每个方程中只有一 个未知数。 4、对力的方向判定不准的,一般用解析法。
5、解析法解题时,力的方向可以任意假设,如果求出负值, 说明力方向与假设相反。对于二力构件,一般先设为拉力, 如果求出负值,说明物体受压力。
习题: 三种简易起重机如图所示。A、B、C三处均为光滑铰链连接。不计 各杆和滑轮的重量,略去滑轮大小。若匀速吊起重量G=1.5kN的物体,求杆 AB、AC所受的力。
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