2018版 第1章 1.2 第1课时 子集、真子集

　　1．2 子集、全集、补集

　　第1课时 子集、真子集

　　1．理解集合间包含与相等的含义、能识别给定集合间是否有包含关系．(重点)

　　2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)

　　3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点

　　)

　　[基础初探]

　　教材整理1 子集的概念及其性质

　　阅读教材P8开始至例1，完成下列问题．

　　1．子集

　　(1)A?A，即任何一个集合是它本身的子集．

　　(2)??A，即空集是任何集合的子集．

　　1

　　(3)若A?B，B?C，则A?C，即子集具备传递性．

　　3．集合相等

　　若A?B且B?A，则A＝B

　　.

　　1．判断(正确的打“√” ，错误的打“”)

　　(1){2,3}?{x|x2－5x＋6＝0}．( )

　　(2)??{0}．( )

　　(3)??{?}．( )

　　【解析】 (1)x2－5x＋6＝0的根为x＝2,3，故(1)正确．因?是任何集合的子集，故(2)(3)正确．

　　【答案】 (1)√ (2)√ (3)√

　　2．{1，a}?{1,2,3}，则a＝________.

　　【解析】 因为{1，a}?{1,2,3}，所以a必定是集合{1,2,3}中的一个元素，故a＝2或3.

　　【答案】 2或3

　　教材整理2 真子集的概念及性质

　　阅读教材P8例1后一段至P9第一行，完成下列问题．

　　1．真子集的概念

　　如果A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．

　　2．性质

　　(1)?是任一非空集合的真子集．

　　(2)若

　　AB，BC，则AC

　　.

　　集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,0,1}，则A与B的关系是________．

　　【解析】 ∵x2－1＝0，∴x＝1，∴A＝{1，－1}．

　　显然AB.

　　2

　　【答案】 A

　　B

　　[小组合作型]

　　指出下列各对集合之间的关系：

　　(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；

　　(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

　　(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；

　　(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；

　　(5)A＝{x|－14}，B＝{x|x－50}．

　　【精彩点拨】 分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．

　　【自主解答】 (1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.

　　(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．

　　(3)∵Q中n∈Z，∴n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，

　　∴P＝Q.

　　(4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB

　　.

　　(5)

　　集合B＝{x|x5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现AB.

　　判断两个集合A，B的关系，应由集合中元素入手，依据集合间关系的定义 3

　　得出结论．由AB可推出A?B，但由A?B推不出AB

　　.

　　[再练一题]

　　1．下列各组的集合中，两个集合之间具有包含关系的是________，其中A为S真子集的是________．(填序号)

　　(1)S＝{－2，－1,1,2}，A＝{－1,1}；

　　(2)S＝R，A＝{x|x≤0，x∈R}；

　　(3)S＝{x|x为江苏人}，A＝{x|x为中国人}．

　　【解析】 (1)中A?S，且AS；(2)中A?S且AS；(3)中S?A且SA.

　　【答案】 (1)(2)(3) (1)(2)

　　(1)写出集合M＝{1,2,3}的子集，并说明其中真子集的个数为

　　多少．

　　(2)若集合{1,2}?M{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M.

　　【精彩点拨】 对于确定子集或(个数)的题目，可以将子集逐一列举出来再计数．

　　【自主解答】 (1)按子集中包含元素的个数来写：

　　(2)M中必有1,2两个元素，但3,4可以没有，也可以只有一个，但不能两个都在M中．

　　M的可能情况为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}． 4

　　1．求解有限集合的子集问题，关键有三点

　　(1)确定所求集合；

　　(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；

　　(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．

　　2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．

　　[再练一题]

　　2．集合M满足{4,5}?M?{1,2,3,4,5}，则这样的M共有________个.

　　【解析】 易知M中必含有4,5两个元素，但1,2,3可有可无，故M的个数与{1,2,3}的子集的个数相同，共8个．

　　【答案】 8个

　　[探究共研型]

　　探究1 A，则N?M成立吗？

　　【提示】 A?B表示集合A中所有的元素都在集合B中．借助数轴表示出M，N两集合，易见N?M.

　　探究2 若集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|x1}，则M?N成立吗？

　　【提示】 不成立，因为1∈M但1?N，故M?N错误．

　　探究3 集合M＝{x|2aa

　　＋1}可能是空集吗？此时a应满足什么条件？

　　【提示】 M可以是空集，此时只需要2a≥a＋1，即a≥1.

　　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1m＋1}，且B

　　?A，求实数m的取值范围．

　　【精彩点拨】

　　【自主解答】 ∵B?A，

　　5

　　(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.

　　?－3≤2m－1，

　　(2)当B≠?时，有?m＋1≤4，

　　?2m－1m＋1，

　　解得－1≤m2，

　　综上得m≥－

　　1.

　　1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．

　　2．两个易错点

　　(1)当B?A时，应分B＝?和B≠?两种情况讨论；

　　(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．

　　[再练一题]

　　3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值集合．

　　【解】 (1)若B＝?，则m＋12m－1，即m2，此时，总有B?A，故m2.

　　(2)若B≠?，则m＋1≤2m－1，

　　即m≥2.

　　?－2≤m＋1，由B?A，得?解得－3≤m≤3， 2m－1≤5，?

　　故得2≤m≤3.

　　综合(1)(2)可知m的取值集合是{m|m≤

　　3}.

　　1．设

　　???yx，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝??x，y??x＝1???6 ???，则??A，B的关系是